MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUK., SERIE II, VOL. LXIV, N. 8. 17 



Ecco COSI determinata una corrispondenza H che gode delle proprietà (II) e (IV), arbi- 

 traria sin che si vuole e in ciò ne sta un difetto, ma a cui logicamente non si può muovere 

 alcun appunto. 



§ 7. 

 La classe degli ordini: cenno sopra alcune sue sottoclassi notevoli. 



Vogliamo ora osservare più attentamente gli individui della vasta classe degli ordini. 

 Vi sono innumerevoli ordini, fra di loro diiferenti, maggiori di qualsiasi reale : per noi 

 apparterranno ad una classe a cui daremo il nome d'Infinito. 



Def. L'ordine à\ f h infinito se è più grande di qualsiasi reale. 



(45) Ofe Infinito . = : meQ . o„, .Of>m. 



Teob. L'ordine di e' è infinito. 



(46) Oe^|a;e Infinito. 



[È conseguenza del Teor. (8) e della Def. (45)]. 



Teor. Gli ordini di e^^ e di x^ sono maggiori dell'ordine di e^ 



[lim -^ ^ lim e^ ^ 00, quindi Oe^^>>Oe^; lim -^ = lim ic = co da cui Oj;e^>Oe^]. 



In generale sussiste il seguente: 



Teok. Se \imfx è infinito, Tordine di a?^^ è un Infinito. 



(47) fé qFNi.lim/"= 00. o.Oa/^ixe Infinito. 



[Dobbiamo dimostrare che se jw è un reale, qualunque sia m, lim — =c», poiché allora 

 dalla (9) segue che Ox''''^ni. Si ha che lim -;;p = lim a/"'~'" = lim a;'™ '/^~"'' = lim a;''"' ■''*"-"'; 

 ma lim a; = oo, lim/a; = oo, quindi, qualunque sia m, lima:'™-''''"'" = oo, cioè lim -;;• = oo. c.d.d.]. 



Teor. Se lim °^ è infinito, l'ordine di /" è un infinito. 



log 



(48) lim 151^ I a; = 00. o.Of e Infinito. 



Ioga; 



log/ 

 [Ricordando che /■ = a;'°s dalla (47) si deduce il Teor.]. 



* 

 * * 



Esistono ordini maggiori di e minori di qualsiasi reale positivo, altri minori di e 

 maggiori di qualunque reale negativo; tutti questi ordini, a cui si aggiunga lo 0, apparter- 

 ranno per noi ad una classe che chiameremo Infinitesimo. 



Def. L'ordine di /" è un infinitesimo, se essendo ?w un reale positivo, qualunque sia 

 questo w, sempre l'ordine dì f e compreso fra me — m. 



(49) Ofe Infinitesimo . = : meQ . 0^ . »w >■ 0/">> — m. 



Teor. Zero è un infinitesimo [zero infatti è sempre compreso fra qualsiasi reale ed il 

 suo contrario]. 



(50) Oe Infinitesimo. 



