18 VINCENZO MAGO — TEORIA DEGLI ORDINI 



Teok. L'ordine del logaritmo (*) è maggiore di e minore di qualsiasi reale positivo. 

 (51) log >■ . log e Infinitesimo. 



[lim^^ = lim^5i£. = Qo quindi per la (9) log>OicO cioè dalla (25) log>0. La (8) ci 

 diceche per w qualsiasi lini—;;; =°o, posto dunque a; = log«, segue lim-r^ r^^lim 



cioè lim ^ °^^^ = 0; ora se «^ — , elevandola poi ad n l'ultima espressione diventa 



lim — ^ = da cui per la (11') 01og<<w (per « piccolo quanto si voglia, poiché m poteva 



assumersi grande ad arbitrio)]. 



In generale : 



Teor. Se \\mfx è nullo e se lim log a; X /^ = °° allora l'ordine di a/-' è un infinite- 

 simo non nullo. 



(52) /"eqFNi . lim/"a;|a; = . lim Ioga; X /a'|a;= 00 . 3 . Oa/*^|a;eInfinitesimo 1--^ lO. 



[Poiché lim ^ = lim a;-^^-'' = lim a;-^^, ed a;-^^ = gioff^x/^^ Y\m xf"" ■= lim «'«e^x/x — 

 = lim eà-m(\a%x%tx)^ jjja lim (log x X /a?) per ipotesi è oo, quindi lim ei'mOogxxA) = oo da cui risa- 

 lendo lim— Q-— 00 cioè Oa?^-^>0. In secondo luogo Qx^^ <^Qx^ per qualsiasi reale posi- 



tivo m\ infatti lim — ^^ = lim .-r^^""' = lim a;'™(A-™) = lim ajiim/^-m g poiché per ipotesi lim fx = 0, 



1 x/^ 



lim a;'™/^^"" = lim a;"""' = lim a;""" = lim —- = donde risalendo lim — - = cioè Oa/"" < toI. 



Teor. Se il limite del logaritmo di f è infinito, ma il limite di °^ 1 x è nullo, l'or- 



Ioga; ' ' 



dine di /■ è un infinitesimo diverso da 0. 



I O O" TOC 



(53) lim log /a; I a; := 00 , lim ° P= . . O/'e Infinitesimo '^ lO. 



log/ 



[Poiché f—x^"^ dalla (52) segue subito il Teor.]. 



Teor. Se il limite di — ML^ è un numero reale, allora la differenza fra l'ordine di /' e 



Ioga; ' 



questo limite è un infinitesimo. 



(54) lim ,°^ |a;6q . o • 0/" — lim °^ |a;6 Infinitesimo. 



'^ ' log X ^ 1 IJ I iQg 3, 1 



I f ^^ lim '— '-^ - lim !^ 1 



Invero: 0/"— lim -^£^=:Oa;'°e —Oa; i<'g=Oa:'''s '"«, ma poiché qui lim lim ^!^ = 



log .ri 1 



1- lOof 1- 



lim , ° ,lim 

 log ' 



log 



log/' ,. logf 

 v-s-^ — lim 



log 



= lim-r-s^ lim-r-2- = 0; ma allora, come discende dalla 



log log 



seconda parte della dimostrazione del Teor. (52), l'ultimo ordine scritto è un infinitesimo; 



quindi risalendo è pure tale 0/" — lim -z~- . 



"Se m è un reale, vi sono ordini maggiori di w e nel contempo minori di qualsiasi 

 reale maggiore di m. 



Teor. L'ordine della funzione a;'" log a; è appunto del tipo anzidetto. 



(55) m, «eQ . w >■ m . Q,. . m < (a;™ log oò)\x<^n. 



(*) La funzione log come pure la funzione log f A considerano nel nostro lavoro definite solo nel campo ' 

 dei numeri interi (0 escluso). 



