MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDR., SERIE II, VOI>. LXIV, N. 8. Ì9 



[lim ^ — = lim log a; = 00, quindi Ox"']og x'^m. D'altra parte ponendo n — m = h, 



a;"* Ioga; ,. x'" Ioga; ,. losra; 

 3;""+" .x" X' 



mostrando la (5)); ma allora Oa;'" log a;«<0;T"'+'', cioè Ox'" log x <C ni -\- h, ossia Ox'"logx<Cn] 



h è un reale positivo, quindi lim — ^^^° = lim —;;; . — 5l_ =: jjj^ ^^ — (come vedemmo di- 



§8. 

 Il teorema di Du Bois Reymond. 



Dato un irrazionale qualsiasi m, come è ben noto, si possono trovare dei razionali che 

 differiscono da ni, a meno d'un reale a qualunque purché non nullo: così m si può, coll'ap- 

 prossimazione a per difetto o per eccesso, rappresentare mediante. un razionale. 



Per analogia si presenta spontanea l'idea di costruire con qualche legge una serie S di 

 funzioni, i cui ordini ci servano come campioni per giudicare gli ordini di tutte le altre, 

 cioè S sia tale che dato un reale m e una funzione f, sia possibile trovarne un'altra in S il 

 cui ordine differisca dall'ordine di f per meno di m. 



Il Du Bois Reymond enunciò nel 1873 (*) un teorema con cui in sostanza si viene a 

 negare l'esistenza di S. 



Gli autori AeW Encicloj^edia [Tomo 1°, volume 1°, pag. 201 dell'ed. francese] lo chia- 

 mano " teorema fondamentale „ della teoria di cui stiamo trattando. Eccolo dunque: 



Teoe. Data una successione di funzioni, si può determinare una funzione il cui ordine 

 sia maggiore dell'ordine di qualsiasi funzione della successione di funzioni date. 



(56) /•eQF(Ni:N,).0.a(QFNi)'^^3[weNi On .Og>Of{x,r,)\x\. 



[Sia la successione di funzioni: 



A {x) U {^) fs («) fi (x) .. . fn (x). .. 



Dobbiamo costrurre una funzione g il cui ordine sia maggiore dell'ordine di qualunque 

 fx della successione data. 



Consideriamo la funzione k così costituita: 



À:l =f,l , k2 = [fra fi2, f,2 il maggiore], k3 = [fra f,^, f,d, f,d il maggiore], . . . 

 fca; = [fra f^x, f^x, f^x., . . . , f^c-iX, f^ il maggiore], . . . 



k risulta così una successione reale definita nel campo dei numeri interi, tale che, qualunque 

 sia X, kx'^fiX ove [« = 1, 2, 3, 4, ... a;]. Perciò qualunque sia i: 



(V) lim — — è un reale maggiore di 1 ovvero è infinito. 



JiX 



Ora sia h una successione qualsiasi reale positiva crescente e tale che il limite supe- 

 riore dei suoi valori sia co. Per la proposizione (V) avremo: 



IfCX /\ flX f ^ * •\ 



im — =co (per ogni i). 



fi X 



Chiamando g la funzione prodotto di k e h, l'ultima eguaglianza scritta diventa: 



lim -^ = co (per ogni ^"). 



(*) ' Journal ffir die reine und ang- jMath. j. Berlin, anno 1873, pag. 865. 



