20 VINCENZO MAGO — TEORIA DEGLI ORDINI 



Ma allora per la (9) l'ordine di ^ è maggiore di quello di fi qualunque sia i ; il nostro 

 teorema esistenziale è dunque dimostrato]. 



Ecco tradotte in simboli le varie fasi del ragionamento precedente : 



.reNi . A- = max/'(r''a;, x) x . i(.l'"x .Q.kx'^f{i,x) (a) 



(a).o.lim[7^kl = (l + Q)^icx. (0) 



(P) . /»€ (QFNi) cres . l'A 'Q — co . jr = te X hx ! a- . . lim 

 (T).(9).feNi.o.O^>0/'(i,a,-)k- 



gx 



[fii.x) 



00 (t) 



§ 9. 

 Sopra alcuni criteri per confrontare gli ordini. 



Dalla considerazione che segue trae origine un gruppo di teoremi, di cui qualche caso 

 particolare è accennato da alcuni autori. 



log/:c loggJ ^ log/z — logg J 



Si può scrivere: fx=^x^''^'', gx = x^''^^: perciò —=^x '"^^ ; quindi per le defini- 



gx 



log/-logg 



zioni (9), (11')- (12) se lima; '"« è un reale positivo , è V Of^Og ; quindi ancora a seconda 

 che lim °° — ^SA^q 5 yof^Og (premettendo però nel caso del segno = una certa 

 ipotesi). 



Considerando invece del limite del rapporto °^ — ^^ la sua classe " Limes „ si hanno 

 i teoremi seguenti : 



Teor. Se il minimo della classe Limes di , ^-^ è maggiore di 0, allora l'ordine 



log ""^ ' 



di /■ è più grande dell'ordine di g. 



(57) minLm ^°g^^-]°g-^ ?|x>O.O.Of>0^. 



— '^ log/ -logy log/-logg 



ri 3C '''8 i JjIQ — — ■ — —— — — 



[Lm -^ ^ Lm— r^ = Lm x '"^ = lim x '°^ . Ora se r è un individuo della classe 

 Limes di — ^-^^j ^JL, qualunque sia quest'r, per ipotesi è maggiore di 0, quindi lim a;' ^00; 



log/— logg 

 , Lm 



perciò essendo eguale ad 00 qualsiasi individuo della classe lim x '°^ , esiste il limite 



log/ — logff 



di X ^"^ e quest'è oo. Quindi risalendo lungo la catena d'eguaglianze poc'anzi scritta, si 



f 

 avrà lim— ^00, cioè Of^Og]. 



Teor. Se lim '°g^-^°gg è maggiore di 0, l'0/">0^. 



(58) iimM/riÌ2K£>o.o.Of>0^. 



[È caso particolare (da noi poc'anzi accennato) del precedente Teor.]. 



I 



y 



