MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUK., SERIE II, VOL. I.XIV, N. 8. 21 



Teok. Se il massimo della classe Limes di °^ ~ °^^ è minore di 0, allora l'ordine 



log 



di f è più piccolo dell'ordine di g. 



(59) niaxLml5gfcM^|^<0.o.Of<0^. 



[La dimostrazione si conduce in modo del tutto analogo a quella del Teor. (57). Qui 

 lim re'' è nullo: gli individui della classe limite in questione son tutti eguali a e quindi 

 il limite è 0, e per la (11') allora Of<COg\. 



Teoe. Se lim '°sf-logg ^ inferiore a 0, rO/'<Og. 

 log ^ 



(60) Iim '°^^;-^°g^- |^<0.0.0/-<Og. 

 [È caso particolare del Teor. che precede]. 



log/ — logg / j.^ log/ - logg N 



Teor. Se lim ^°^\~^°^^ è nullo e lim x '"^ = IJm U '"e ), l'ordine di f è 



log ^ ' ' ' 



l'ordine di g. 



taì\ log A;— lego, . ,■ f^ ,. V^, ,. \™px ^ rv-e r\ 



(61) — 2_L :i»_|.j. = ^ . hm/* =: . lim a? |a;=hma; |a;. . Of = Ogr. 



l og/— log ? 



[lim — =lima; '"^ , ma per ipotesi tendendo a l'esponente dell'ultimo limite, esso 



è un numero reale positivo, tale essendo perciò lim — , l'ordine di f è l'ordine di g]. 



Teor. Se lo è compreso fra due individui della classe Lm °^ — ^!MJL^ gli ordini di f 

 e di ^r non si possono confrontare. 



(62) max Lm ^°°^~J°^^ > > min '°g^~^°^^ . q . O/" ->,- = ,--< 0^. 



log/-l"gg 



[Lm — = Lm x '"^ . Ora Lm °^ — ^*^^ contiene per ipotesi un reale positivo r, 



Ing/— log? 



lim a;'' è ce, quindi l'oo appartiene a Lm a; '°s ; Lm °^ — ^^-^ possiede per ipotesi un 



log/— log. i; 



reale negativo s, lim a-' = 0, quindi pure lo appartiene a Lm a; '"? . La Lm — avendo 



allora almeno due individui distinti lo e l'oo, non esiste lim—, quindi l'Of non è né >, 

 né =, ne ■< di Og. c.d.d.]. 



Teok. Se la classe Lm °° j~ °^^ contiene lo e qualche altro individuo, gli ordini 

 di f e di ^ non son confrontabili. 



(63) OeLm ^°^^~^°^^ . Lm -'°^=^ ^ = lO . . 0/"^ > , ^ < , ^ = 0^. 



[Si dimostra in modo analogo al teorema precedente]. 



Per confrontare l'ordine d'una funzione con un reale possono giovare i seguenti : 



