22: . . VINCENZO MAGO — TEORIA DEGLI ORDINI 



Teoe. Se il reale m supera il più grande individuo della classe Lm °^ , l'ordine di / 

 è minore di m. 



(64) max Lm ^J|a;eq : me . max Lm ^-^^\x + Q .-. o,„ . 0/'< m. 



[Lm °g' °S\'^ _. j^y^ y^ — m che, per l'ipotesi fatta su m, è tutta composta d'in- 

 dividui minori di 0, allora per la (59) 0/'<;0x'", cioè 0/" «<?«]. 



Teor. Se il reale m è inferiore al minimo individuo della classe Lm °^ , l'ordine di f 



log ' 



supera m. 



(65) minLm^jJ|a;eq:me.rainLm^^|a; — Q.-.o„, .0/'>»M. 



[Si deduce dal Teor. (57) procedendo come nella dimostrazione del Teor. (64)]. 

 Teor. Se il reale m è maggiore di lim °^ , l'ordine di /" è minore di m. 



(66) meq:me.lim^ia. + Q.-.0.Of<m. 



[È caso particolare del Teor. (64)]. 



Teor. Se il reale m è minore di lim °^ , l'ordine di f supera m. 



(67) w.6q:m6.1im^-^!a; — Q.-. 0. Of>m. 



[Caso particolare del Teor. (65)]. 



Se il reale ni è compreso fra il massimo ed il minimo individuo della classe Lm °^' , 



log 



l'ordine di f non si può confrontare con m. 



(68) w€q . max Lm~^\x<Cm<Cmìn °^ ' ^ | x . 3 . 0/"^^ = , r^ >> , r^ <[ ?». 



[Lm — ^;- ^ Lm a; '°^ ora date l'ipotesi fatte, è compreso fra due individui della 

 classe Lm -p m, perciò per il Teor. (62) Of non è confrontabile con Ox'" cioè con»?]. 



§ 10. 



Cenno sull'applicazione della teoria degli ordini 



a quella delle serie e degl'integrali indefiniti. 



Il linguaggio degli ordini da noi esposto si presta utilmente per enunciare in forma 

 chiara ed elegante alcune condizioni generali di convergenza delle serie a termini positivi 

 e degli integrali indefiniti. 



Le serie di cui tratteremo nel presente paragrafo le supporremo dunque tutte a termini 

 positivi; indicheremo con £(/■, No) la serie fO -j- fi +/"2 -r/'3+ 



La breve teoria che segue, si fonda sui due seguenti teoremi ; benché notissimi noi li 

 enunceremo per poterli agevolmente richiamare. 



