MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR-^ SERIE li, VOL. LXIV, N. 8. 23 



Teor. Data una serie convergente, se i termini d'un'altra sono da un certo punto in 

 poi minori dei corrispondenti termini della prima, la seconda serie converge. 



(69) !(/; No) eQ . ^eQFNi . gN, " ns [peì^, -^- n .Q^ . gp<fp] . o -^ {g, No) eQ. 



Teor. Data una serie divergente, se i termini d'un'altra sono da un certo punto in poi 

 maggiori dei corrispondenti termini della prima, la seconda serie diverge. 



(70) Z (/■, No) = cx) . .9eQFNi . g N^ " n 3 [pe N^ + n . o, . gp > fp] . Q . Z {g, No) = oo. 



Ciò posto ecco le relazioni fra l'ordine del termine generale e la convergenza o diver- 

 genza della serie. 



Teor. Se la serie Z (/", No) converge e l'ordine di gr è minore od eguale all'ordine di f, 

 Z {g, No) converge. 



(71) Z(/■,No)eQ.^€QFNo.O^^O^o.Z(^,No)€Q. 



[Infatti per ipotesi lim -^ o è un reale positivo o è nullo, quindi (e se si negasse ciò 

 si cadrebbe in assurdo) in entrambi i casi ~ da un certo valore della variabile in poi sarà 



minore d'un numero reale P, cioè -~ < P, ossia g <C P/"; ma la serie ottenuta sommando la 



successione P X f e convergente essendo tale Z (f, Nq), quindi per il teorema (69), Z {g, No) 

 converge]. 



Teok. Se la serie Z {f, No) diverge, e l'ordine di g è maggiore od eguale all'ordine di /", 

 Z(5f, No) diverge. 



(72) Z (/•, No) = « . ^eQFNo . 0^ ^ Of. Q . Z (^, No) = a>. 



[Infatti per ipotesi lim-^ o è un reale positivo o è 1' oo, quindi (e il negarlo porterebbe 

 ad un assurdo) in entrambi i casi -|- da un certo valore della variabile in poi sarà maggiore 



d'un reale P, cioè y^P, ossia g^P'Xf; ma la serie Z (P X /", Nq) è divergente essendo 



tale Z(/", No); quindi per il teorema (70), Z (^, No) diverge]. 



Dalle due proposizioni precedenti seguono come casi particolari vari criteri di conver- 

 genza e divergenza. Eccone quattro notevolissimi: 



Teor. Se l'ordine di /" è minore od eguale a — (1 + k), ove k è reale positivo non nullo, 

 la serie Z (/", No) converge. 



(73) k^Q.Of^-il + k).o.Z{f,-R,)eQ. 



[L'ordine di -^^^ è — (1 + ^), quindi ne scende per ipotesi che Of^O— jij:^, ma com'è 



noto, la serie Z 1—^^, Nij converge, quindi pure è convergente per il Teor. (71), Z (f, NJ]. 

 Teor. Se l'ordine di /" è minore od eguale a 



— (1 + j log a; log2 a: log^ X ... log?-' ce [log''a;]'+''i) 



