24 VINCENZO MAGO — TEOKIA DEGLI ORDINI 



ove p è intero ed a un reale positivo non nullo, allora la serie Z (f, N,) è convergente. 



(74) pe-N, . aeQ . Of^ - (1 f ) H (log-a^la^, 0-(p - 1)) X [log'xY^''[\x) . Q. !(/■, N^) eQ. 



[Dalla ipotesi segue che Of^O ^^^^^ ,^^, ^ ^^^ ^ ] ,^^^_. ^ ^,^^^ ^^.^„ - , ma la serie 



I( — j pj — - y^^ , NJ è convergente (Vedi p. es. Abel, (Euvres, II, pag. 200), quindi 



per il Teor. (71) pure Z (/■, Ni) converge]. 



Teck. Se l'ordine di f è eguale o maggiore di — 1, la serie Z (/", Ni) diverge. 



(75) 0/-^-1.0.Z(/,Ni) = ^. 



[Infatti essendo — 1 l'ordine di — , per ipotesi Of^O — , ma la serie Z ( — , Ni), che 



è l'armonica, diverge, quindi per il Teor. (72) pure è divergente Z(/', No)]- 



Teor. Se l'ordine di /" è maggiore od eguale a — (1 + Ioga; log^a? log'a; ... log"a;), la 

 serie Z (/", Ni) diverge. 



(76) weNi . Of^ _ 1 — on (logNp, 0-)») . o . Z (f.Ni) = oo. 



[Dall'ipotesi segue che 0/"> — ; z — -— , ma la serie Z — , ^ — --, N,ì è diver- 



"- ^ ° ' — a; Ioga; ...log" a;' \a;loga; ... logJ'a;' 7 



gente (Abel, op. cit., id.), quindi per il Teor. (72) pure Z (/■, Ni) diverge]. 



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Dai criteri precedenti sulla convergenza delle serie se ne possono dedurre altri per giu- 

 dicare se un integrale indefinito converga, e ciò è possibile in virtii d'un noto teorema 

 dovuto a Mac Laurin, e per Io piìi attribuito a Cauchy [Vedi A Treatise of Fluxions, 1742, 

 pag. 289. Cfr. Peano, Formulario Mathematica, 5* edizione (1908), pag. 355]. 



Fino al termine del lavoro supporremo che /", g rappresentino funzioni positive, decre- 

 scenti, definite per tutti i valori reali della variabile: 



f, g e (QFQo) decrs. 



Per ordine delle funzioni f e g intenderemo gli ordini delle successioni 



fi, f2, f3, ..., fn, ...; gì, g2, gS, ..., gn, ... 

 Of=Oifx\x,-N,); Og = 0{gx\x,-N,). 



Ecco ora il teorema a cui dianzi accennammo: 



Teor. Condizion necessaria e sufficiente perchè la serie Z {f, Nq) sia convergente è che 



Ì'£30 

 fxdx, e viceversa. 

 _ 



(77) Z(f,No)eQ^S(AQo)eQ. 



[Infatti la somma f0-\-fl-\-f2-\-...-\-fne maggiore dell'integrale da ad « + 1, che 

 è maggiore della somma fi + f2 + . . . -f- /"(w + 1). 



Quindi se la somma della serie è finita, allora l'integrale che è minore della somma 

 della serie è finito. E se l'integrale è finito la serie /l + f2 + . . . + /"w + . . . ha valore finito 



