MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE. MATEM. E NATUK., SERIE II, VOL. I.XIV, N. 8. 25 



minore dell'integrale. Se a questa serie aggiungiamo /"O avremo la nostra serie, che avrà 

 quindi in questo caso valore finito]. 



Dalla proposizione precedente seguono i seguenti criteri di convergenza: 

 Teck. Se Z (/', Nq) converge, e l'ordine di ;/ è minore od eguale a quello di f. l'inte- 

 grale qxdx è un reale finito. 

 .'o ■ 



(78) I (/; No) £ y . Ojr ^ 0/' . . S (/•, Q) e g. 



[Date le ipotesi dalla (71) segue che Z (g, Nq) è convergente e quindi per il Teor. (77) 

 è pure convergente l'integrale]. 



Teor. Se Z (/. Nq) diverge e l'ordine di g è maggiore od eguale a quello di /', l'inte- 



Ì-ao 

 gxdx diverge. 



(79) I (A No) ^<^.Og^Of.o.S [f, Q] - a.. 



[Si deduce dalla (72) e dal Teor. (77)]. 



Teor. Se l'ordine di f è minore od eguale a — •(! 4-^) ove k è un reale, l'integrale 



•00 



fxdx converge. 



(80) A-eQ . 0/-^ _ (1 i A-) . . S {f, Q) eQ. 



[E conseguenza della (73) e della (77)]. 



Teor. Se jj è un intero, a un reale positivo e l'ordine di /" è minore od eguale a 



— [1 ^ 1 Ioga; log-a; log^a; ... log''~'a;[log''a?]''^''(, allora l'integrale fxdx è convergente. 



(81) pe^,.aeQ.Of^[-l + O]U[ìog^x\x,0-{p-l)]X[iog''xY+''i\x].0.S[f,q]eQ. 

 [Segue dalla (74) e dalla (77)]. 



/•oo 



Teok. Se l'ordine di f è maggiore od eguale a — 1, fxdx diverge. 



(82) Of^-l.o.S{f,Q}^cc. 



[Dalla (75) per la (77)]. 



Teor. Sepè intero e l'ordine dì fé maggiore od eguale a — [l + 01oga;log^a;...logf'"'a; log''^;], 



l'integrale fxdx diverge. 



(83) peNi.Of^ — ; 1 +On[log"'a;i»?,0-^j]j.0.S(/',Q) = (». 

 [Dalla (76j in virtù della (77)]. 



