2 GOSTAVO SANNIA — CARATTERISTICHE MULTIPLE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 



Secondo che dy -.dx è radice semplice, doppia, ...della equazione algebrica (2), la C'„ è 

 caratteristica semplice, doppia, ... 



La C,i è contenuta in caratteristiche C,,^.^ di ordine n -|- h, ciascuna delle quali si for- 

 merà aggregando alle (1) altre funzioni j»j,t {l -\-k == n + 1, ... , w + h) di x soddisfacenti la (3) 

 per i-\-k = n, n-\-l, ..., n -]- h — 1 e che rendano compatibili le (3). per i -\- k = n -{-h, 

 M + A + l, ..., e le (P),.. 



2. — Le proprietà delle caratteristiche semplici sono ben note (cfr. § 3, n. 5); non 

 altrettanto può dirsi delle multiple. Seguendo la traccia di uno studio di E., E. Levi (*) sulle 

 caratteristiche doppie, io già tentai {**) di studiare le caratteristiche multiple in generale; 

 ma fui costretto ad arrestarmi alle triple e alle quadruple per la rapidissima e grave com- 

 plicazione dei calcoli. 



L'impossibilità di proseguire per la via maestra ci costringe a battere qualche via indi- 

 retta, riducendo la ricerca a qualche caso particolare in cui essa sia possibile. Ho osservato 

 che è possibile quando l'equazione (F) è lineare nella funzione incognita z e nelle sue deri- 

 vate p,k, cioè del tipo 



(I) i^ = a+ £ ttikPik^^O, 



ove i coefficienti a, aik sono funzioni delle sole x, y. 



In questa Memoria mi occupo appunto di tale equazione, riservandomi di ritornare in 

 altro lavoro sulla equazione generale (F), mediante un opportuno artifizio, cioè adoperando 

 Vequazione ausiliaria della (F) (***), che è appunto del tipo (I). Tuttavia le proprietà che 

 otterremo per le caratteristiche multiple della (I) serviranno fin d'ora a illuminarci su quelle 

 delle caratteristiche dell'equazione generale (F), in quanto che è lecito il pensare che dette 

 proprietà non potranno mutare sostanzialmente nel passaggio dalla (I) alla (F). (Si ha una 

 conferma di ciò se si confrontano i risultati di questa Memoria con quelli delle due Memorie 

 citate). Del resto la ricerca, anche limitata all'equazione (I). è interessante per la frequenza 

 con cui questa equazione si presenta nelle applicazioni. 



La discussione che faremo ci permetterà poi di classificare le equazioni (I) che hanno 

 uno o due sistemi di caratteristiche multiple (ed i rimanenti sistemi di caratteristiche sem- 

 plici) in varii tipi, riunendo in un sol tipo quelle le cui caratteristiche hanno spiccate pro- 

 prietà comuni; poiché senza dubbio, volendo procedere ad una classificazione delle equazioni 

 (I) (F), il miglior discriminante è costituito dalle caratteristiche. In particolare potremo 

 fare una classificazione completa delle equazioni lineari dei primi cinque ordini. 



§ 2. — Equazioni delle caratteristiche. 



3. — Supponiamo dunque' che le funzioni (1) di x costituiscano una caratteristica C„ 

 della (I) e che la C„ sia v-pla (1 < v < w), sicché dy : dx sia radice v-pla dell'equazione (2) 

 che qui diventa: 

 (II) a„o df — «,._i,i ^^"-1 dx + ... + (— 1)" «0.. dx^' = 0. 



I 



(*) Caratteristiche multiple e problema di Catichy (' Annali di Matematica pura e a.pplicata „, serie 3', 

 tomo XVI, 1909, pp. 161-202). 



(**) Caratteristiche multiple di un'equazione alle derivate parziali in due rariahili indipendenti (" Memorie 

 della R. Accademia delle Scienze di Torino ,, serie 2% voi. LXIV, 1913). 



(***) Definita dal Darboux, Legons sur (a théorie generale des surfaces, t. IV, Note XI. 



