MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUU., SERIE II, VOL. LXIV, N. 13. 



Anche la (F)^ si semplifica ti diventa: 



I7+ 2 ^d7-Ki>..) = (r=l,2,...), 



di/' 

 ossia, per la regola di Leibnitz per la derivazione di un prodotto, 



ili 



'" ■• 2 2(:)^^--=o (^=1,2....), 



OSi-i-S<n s=0 



oppure, invertendo le due somme e ponendo h ^ k-\- r — s : 



1=0 i,h 



I simboli a,t hanno finora un significato soltanto per <i-\- k ^ n. Per gli sviluppi 

 ulteriori conviene di attribuir loro un significato per tutti i valori, positivi e negativi, dei 

 loro indici: converremo che sia: 



(4) «.,^=::0 per i-\-k<ÌO e per i-\-k'^n. 



Con tale convenzione la formola precedente si può scrivere : 



W+t 2 0-^?=^^. = » (^=M,...), 



s=0 0<i+A<B+r 



ossia : 



(ó) "3^+ 2 A,;._.,iÌ?i;. = (r=l,2, ...), 



0<t+A<n-t-r 



ove si è posto: 



(6) ^.,,, = 2f''^^''"-'^^~'" 



4. — Le (3) permettono di esprimere successivamente tutte le funzioni pt,, di x mediante 

 le sole j^oii Po2, -, Poh, ■■■ e le loro derivate; ma le espressioni che si ottengono vanno rapi- 

 damente complicandosi, quindi conviene fare un'ipotesi semplificatrice. Osserviamo perciò che 

 un sistema di funzioni (1), costituente una caratteristica C„, deve ora soddisfare le (I), 

 (II), (3) per i + ^ = 0, 1, ..., w — 1, e deve inoltre rendere compatibili le (3) per z -|- A; = w, 

 n-\- 1, ... con le (5). 



Di queste funzioni, le prime due t/ {x), z [x) definiscono la curva sostegno della C„ e la 

 prima y [x) definisce la proiezione f sul piano xj della curva medesima. Or queste proie- 

 zioni r di curve sostegno di caratteristiche sono completamente determinate dalla equa- 

 zione (II), che si scinde in n equazioni diff'erenziali di prim'ordine, distinte o non, nelle sole 

 variabili x, y. Dunque per formare le caratteristiche della (I) basterà aggregare a ciascun 

 integrale y [x] della (II) delle funzioni z, pik{i -\- k ^=1,2, ...,n) di x soddisfacenti le equa- 

 zioni suddette, esclusa la (U). Queste caratteristiche le diremo corrispondenti all'integrale 



(') Le curve T si sogliono anche chiamare impropriamente caratteristiche della (I) e, per quanto precede, 

 si suol dire che la (I) è un'equazione a caratteristiche fisse sul jiiano xy. Di queste caratteristiche si è occu- 

 pato il Leeodx nella Memoria: Sur les équations linéaires aux dérivées jìartielles (" Journal de Mathéraatiques ,, 

 5'™ sèrie, t. IV, 1898, pp. 369-408). 



