GUSTAVO SANNIA — CARATTERISTICHE MULTIPLE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 



Noi supporremo che la funzione y (a;), che fa parte del sistema (1) che definisce la C\ 

 che consideriamo, sia (una costante, per esempio) uguale a zero, ossia che la corrispondente 

 curva r si riduca all'asse delle x. A questo caso ci possiamo ridurre cambiando nell'equa- 

 zione (I) la variabile y in i/ [x) -\- y. Sicché la nostra caratteristica C„ sarà d'ora innanzi 

 definita dalle funzioni 



(1') :'/ = 0, 2, Pio, Poi, Pa 1.1- -^Pon 



di X. 



Notiamo subito che in tale ipotesi la (II) deve avere la radice v-pla dy : rfx ^ 0, e però 

 che deve essere identicamente: 



(7) 



Cfo» (^l.ii-l ••• 'J'v-l.re— V+l ^1 "^V.it-V ^^ " 



lungo la Cn, ossia per (/ = e qualunque sia x. 

 Ora la (3) diventa 



dpiK^^pi+i.hdx 



e dà: 

 (III) 



sostituendo in (5), si ha: 



^+2 S •^- 



Pih 



d'pok 



d'poh 

 dx' 



(i + A; = 0.1,2,...); 



h^n-^-r i^n-{-r — h 



dx' 



Zj Zj ^'■■"— ^"-^' 



A=0 1=0 



;i=tn-i 1=0 

 infine, cambiando h in n -\- h nella seconda somma e ponendo: 



A=0 i=0 



si ha : 



!,=l i-0 



(I) 



dx 



^ + ^, = 



,1 I ' 



(>• = 1, 2, ...), 



(r = 1, 2, 3, ...). 



I 



I simboli Ar, A,.,,i rappresentano funzioni note di x lungo la C„ fissata (1'). In parti- 

 colare, ricordando le (-i), si ha dalla (6): 



-O-rj-O ^Oki Ar,,--\,1 ^'l.n.-li •••! ^i-,r_V + l,V— 1 



quindi, per le (7), si ha lungo la C„: 



ArrO ~^ -^i-.r— 1,1 ^^ ... ^^^^ -4r,i — V + 1,V— 1 



V_],;i— V+1 



, Ar,r--iy Wv,,i_v , 



(9) 



mentre che: 

 (10) 



0, 



^j-.r-V 



:0. 



Per maggior chiarezza della discussione seguente, sviluppiamo la (I),., ordinando i ter- 

 mini del primo membro secondo i valori decrescenti di li e, per ogni /?., secondo i valori 

 decrescenti di i. Tenendo presenti le (9) e (10), otteniamo: se v = l, 



(11) 





dx 



dx 



i=0 



+ A,,oPon+, + 2] ^31,- ^^ + ^3 = 0, 



