MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDK., SERIE II, VOI,. LXIV, N. 13. 

 se V >• 1, 

 (I)l -il = , . 



(1)2 ^aiol'on+i + ^2 = 0, 



1=0 



(1)3 ^320Ì'0's+2 + ^ ^31i ^, h-43 = 0, 



i=2 



(^)i ^-130 Pon+s -r 2^ ^i2i ^i h ^ ^iii ^^r h ^4 ^ , 



t=3 



1=0 !=0 



(l)v ^ vv-x,o PO..V + 2 :4v.v-2.. ^^^'^^ + - + 2; ^v... -^ 4- ^v - , 



1=2 2=V+1 



1=0 1=0 



CTI A n -I- V '^'^"■"+^-' 4- -J- V /( '^'P°--^+^ _L 



lijv-i ^v+i,v.o/'o.»i+v -r^ ^^, T^ •■• n^ ^ ^v+1.2» ^jj., n^ 



*=2 «=V — 1 



1=0 



1=V— 1 



1=0 1=0 



|l)v-2 ^V+2,V+1.0/-'0,n+V+l -f ^^V+2,Vi J^i T ••• ~1~ ^ ^V + 2,3,J ^i T 



1=2 i=V— 1 



!=0 



~r «V,»-V ^^^V r ^ ^V+2,2,i ^^^S T ^V+2,l,i ^.. "T -'iv+2 W, 



i=V-l 



Per quanto abbiamo detto nel § 1, n° 4, affinchè le (1') rappresentino una caratteri- 

 stica di (I), debbono essere compatibili le (IH) e le (11), se v=l, o le (III) e le (I),. 

 ('■=1,2,...), se v>l. La (I)i, che è anche la prima delle (11). involge le sole funzioni (1'), 

 quindi è una condizione alla quale debbono soddisfare le funzioni stesse; perciò la riterremo 

 soddisfatta identicamente. Le rimanenti equazioni (11) o (I),., quando sono compatibili, danno 



successivamente le funzioni ^on + i, Pon + i Note queste funzioni, le (ITI) individuano le 



rimanenti funzioni pif,{i-\- k'^n), e però danno tutte le caratteristiche Cn + n {h= 1, 2, ...) 

 della (I) contenenti l'assegnata C„. Dunque per la discussione ulteriore basterà tener conto 

 soltanto delle dette rimanenti equazioni (11) o (I),.. 



§ 3. — Classificazione delle caratteristiche v-ple. 



5. — Dalle (11) si deducono le ben note proprietà delle caratteristiche semplici (*): 

 una C„ è contenuta in infinite 0.^^,^ (h= 1, 2. ...) dipendenti da h costanti arbitrarie; se due 

 superficie integrali passano per una C„, l'ordine del loro contatto è lo stesso lungo tutta la d; 

 le C„ dipendono da n — 1 funzioni arbitrarie di una variabile. 



(*) Che valgono anche per l'equazione generale (F). Cfr. Goursat, Legons sur l'integration des équaiions 

 aux dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes, voi. li, cap. X, n' 209, 211. Per altre 

 proprietà delle caratteristiche semplici, cfr. le mie Note: Sur ìes caractéristiques simples des éqvaiions aux 

 dérivées partielles en deux variables C Comptes Eendus ,, t. 1.5.5, p. 636); Propriétés nouvelles des caractéri- 

 stiques des équations partielles linéaires du premier ordre en deux variaMes (loc. cit., t. 156, p. 605). 



