6 GUSTAVO SANNIA — CAKaTTEKISTICUE MULTIPLE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 



Se la (I) è analitica, per una C„ semplice analitica pasmno infinite superficie integrali ana- 

 litiche nel suo intorno; una di tali superficie risulta individuata quando le si imponga di pas- 

 sare per una curva arbitraria che incontri la C,i in un punto (e dia in essa per l'elemento di 

 ordine n -\- \ determinazioni concordi con quelle date dalla Cn). 



6. — Ora supponiamo v>l e perciò consideriamo le equazioni (1)2,(1)3, ■•■, cercando 

 tutti i casi in cui queste infinite equazioni possono coesistere; perverremo cosi ad una clas- 

 sificazione dello caratteristiche v-ple della (1) in vari tipi che raggrupperemo in n classi. 



Si ha dalla (6) 



(12) ^.,.-1,0 = «o,n_i + r ^ (r ^ 2). 



Classe Fvi (0 tipo F'vi). — Supponiamo che le funzioni a^n-ì., —r^ non siano ambedue 



nulle lungo la C„, ossia per // = e per ogni x, perchè queste funzioni dipendono dalle sole 

 variabili x, y. Allora, per la (12), le funzioni ^2101 ^310 1 ■i ^.■,.-1,0 1 ■■■1 non saranno nulle 

 in generale, quindi le (1)2, (1)3, ... saranno equazioni di primo grado in Po,n+\, P(,n+2, — 

 rispettivamente. 



Dunque: la C„ è contenuta in una sola C„ + ), (h= 1, 2, ...); sicché per la C„ passerà al 

 più una superficie integrale. 



Tutto ciò solo in generale, perchè può accadere che per qualche inteio r ^ 2 (uno al 

 più) risulti ^r. ,-1.0 = 0. In tal caso la (I),. non dà piìi ^0. n+i-i- m^, diventa una condizione 

 a cui deve soddisfare la ^Jo.n+.-a già calcolata dalla (I),— i: secondo che questa condizione è 

 soddisfatta oppur no, la po,»+.-i resta affatto arbitraiia la po. »+i-2 non è accettabile (ed 

 in quest'ultimo caso la C„ da cui siamo partiti non è certamente una caratteristica). 



Possiamo domandarci: quale è il grado di indeterminazione delle caratteristiche di 

 questa classe? Osserviamo che la loro esistenza è subordinata all'esistenza di un integrale 

 della (II), che, reso uguale a zero con un cambiamento della variabile y (n° 4), soddisfi le 



condizioni (7) e non annulli identicamente entrambe le funzioni «o.»-!- T"' ■ Ammessa tale 



esistenza, si formeranno le caratteristiche corrispondenti, aggregando alla funzione y = 



altre -^ ^ funzioni z, pn-Ji -\- k ^ !,...,«) di x soddisfacenti le " "^ \- 2 equa- 



zioni (I), (I)i. (III). Se ne deduce che: le caratteristiche della {l) della classe Y y\ dipendono da 



(» + !)(» + 2) _ «(«-fi) _2=n~\ 



funzioni arbitrarie di una variabile (se esistono). 



7. — Classe FV2- Lungo la C,^, ossia per ,(/=0 e per ogni x, sia: 



quindi, per la (12), 





^'■210 — ■ ^310 •■• -^1- r-1 •■• "• 



Sia inoltre : 

 (12') A, = 0, 



I 



