MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SRRIE II, VOI,. LXIV, N. 13. 



come esige la (1)2, ma non siano tutte nulle le funzioni: 



èrti n-i 



Ò»o , ii-i 9faon 



"'O.n-2, i„ , -sXs- 



lungo la C„, ossia per </ = 0. 



In tal caso le — ~ funzioni z, pi^ di x che , insieme con la y ^ , formano 



la Cn. debbono soddisfare le ^"-^ h 3 equazioni (1), (I)i, (III), (12'); dunque, come 



poc'anzi, si deduce che: le caratteristiche della classe Yy^ dipendono da 11 — 2 funzioni arbi- 

 trarie di una variabile (se esistono). 



Osserviamo poi che la (6) dà, per la (4), 



(14) ^.,.-2,0 = «0..-2 + r ^^^^ + ( ■' * ^'"- 



* 



per ?• > 3, e distinguiamo due casi che danno due tipi distinti di caratteristiche. 



Tipo Y\>. — Supponiamo che ai,„_2, '''"~' non sieno ambedue nulle lungo la C„; 



allora, per la (13), le A^,,!, Ar,si. ..., .^r.r-2,11 ■•■ non saranno nulle in generale, quindi le (1)3, 

 (1)4, ... saranno equazioni differenziali lineari di prim'ordine in ^n n+i- Po,»+2i ••• rispettiva- 

 mente e perciò daranno queste funzioni con 1,2,3,... costanti arbitrarie rispettivamente; 

 dunque la C„ è contenuta in infinite C-^+;> (h = 1, 2, ...) dijxndenti da h costanti arbitrarie. 

 Come costanti si possono assumere i valori che le po,»i+i! •••! Fc^+zi prendono in un punto 

 della (7„, ossia per un valore particolare di x (valori che bastano ad individuarle); dunque 

 se due superficie integrali passanti per la C^ hanno un contatto di ordine n -|- h in un punto 

 della C„, avranno lo stesso contatto in tutti gli altri punti della C„. 



Tutto ciò in generale, perchè può accadere che, scelte le po,n+i, ••-, Po.n+r-ì, risulti per 

 qualche intero ?">3 (uno al più) ^,-,>--2,i ^^ 0. In tal caso la (I),. diventa un'equazione 

 di primo grado in p^^+r-i (se ^r,, --2.0 = 0) una condizione a cui deve soddisfare la 

 ^0, n+r-2 (se .4r,,—2.o ^ 0); dunque la /^o.^+r-i è unica è arbitraria non esiste. 



Tipo r'v2. — Lungo la C„ sia: 



(15) ai,„_2 = ^^ = 



e quindi, per la (13), 



■O-Sìl = -4421 = •■• =^ -4r,r-2.1 = ■..=: ; 



ma le ao,,^_2, "^'"~' , ^"^ non sieno tutte nulle. Allora, per la (14), le ^420^ ^ssoi ••■1 



^r.r-2,0- ■•■ non saranno nulle in generale, e però le (1)3, (1)4, ... saranno equazioni di primo 

 grado in ^o.n^i > Po.n+2 • ■■■ rispettivamente. In tal caso la C„ è contenuta in una sola 

 C„j.^ [h = 1, 2, ...), quindi per essa passerà al pili una superficie integrale. 



Ciò in generale, perchè può accadere che per qualche r > 3 (due al più) risulti 

 Ar,r-2.i^ 0- In tal caso la (I),. non dà più ^o,n+.-i, ma diventa una condizione a cui deve 

 soddisfare la j(Jo,>i-r-2 già calcolata; secondo che questa condizione è soddisfatta oppur no, 

 la po,K+r_i resta arbitraria la j;o,ji+>--2 è inaccettabile. (In quest'ultimo caso la C„ conside- 

 rata non è certamente una caratteristica). 



