MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SERIE II, VOL. LXIV, N. 13. 9 



Le ("+1^^^" + "^) funzioni z. pi^ {l + fc = 0. 1. ..., h) di x debbono soddisfare in tal caso 



le iL^L+ll _|_ ^ _|_ 1 equazioni (I), (I)i, (III), (16), quindi: ìe caratteristiche della classe Y^,, 



dipendono da n — k funzioni arbitrarie di una variabile (se esistono). 

 Osserviamo infine che, per Is (6) e (4), si avrà: 



A „ 1 ,. ^"'^-l.n-);+l 



^p.,— I:,I.-1 "<.— !, ,1-7; T^ ' J , 



, 1^ àak—2 n-k-i-t J_ ( ''\ '^~C)!—i .n -h+2 



dao,n-k+l I _\ ( '' \ ^'"Om- 



^,..,.-..o = ao,n-. + .^f^ + ... + (,.:i) 



■h+r-ì 



V 



Ciò premesso, distinguiamo k casi che conducono a k tipi distinti di caratteristiche : 

 r'vt. r"vt, ..., F'^'vfc. Discutiamo in generale il: 



Tipo T'^'^t (i = 1, 2, ..., ^). — Siano tutte nulle le funzioni delle prime i — 1 orizzon- 

 tali del quadro (17)'. ma non tutte quelle della /-esima orizzontale. 



Allora saranno identicamente nulle le prime i — 1 funzioni 



(20) A,-,,--k.k—l , -Ar.r-k,ìi-2 J •••! -4r,r_fc,t-iJ-l 



definite dalle (19); ma non sarà nulla, in generale (cioè per ogni r), la i-esima A,.,r-k.ì^i- 

 Ne segue che le (I^+i, -.., (l')v,-" saranno equazioni differenziali di ordine k — i in ìh,n+i, 

 Po.yi+2i — rispettivamente e perciò daranno queste funzioni con k — i, 2 (k — i), 3{k — i), ... 

 costanti arbitrarie, l'ispettivamente. Dunque: una €„ del tipo Y^'\k è contenuta in infinite 

 caratteristiche C,.^,, (h = 1. 2, ...) dipendcìiti da h (k — i) costanti arbitrarie (*). 



Se due superficie integrali passanti per la C„ hanno in un suo punto un contatto di 

 ordine n -[- /', in questo punto le funzioni 



?0.'i+l : Po,n+2 1 P\.n+l'- ■■■] Po.n+h • Pl.n+h-1 r •••, Ph-l.n+1 , 



ossia, per le (HI), le funzioni : 



^~ ' Po.'i^l 1 FO.n+2 ■ g^ I ■•■) F0/>i+h, ^^ , ■■■, d^h-l 



assumeranno gli stessi valori, tanto su di una superficie, quanto sull'altra. 

 In particolare, se h^k — i — 1, ciò accadrà per le funzioni : 



(22) po..^r, ^^, ..., ^-%^ {r=t2,...,h-k + i + l). 



Ora, per il modo come si calcolano successivamente le funzioni po,n+r, queste sono 

 completamente determinate quando son noti i valori delle funzioni (22) in un punto della C„, 

 ossia per un particolare valore di x; quindi in tal caso le due superficie integrali hanno a 

 comune, non solo una Cn, ma una Cn+h^h+i+i- Dunque: se due superficie integrali passanti 

 per la C„ hanno in un suo punto un contatto di ordine n -|- h, avranno un contatto di ordine 

 n-j-h — k-j-i+l almeno lungo tutti la C« . 



(*) In particolare, per t = fc, si ha che il numero di queste costanti è zero. Si deve intendere con ciò 

 che una C. del tipo Y'^'vi: è contenuta in una sola Cn+:[.h = \,2, ...); poiché in tal caso le (I')fc-ri , •••, (I')v > ■•■ 

 sono equazioni (non più differenziali, mal algebriche e lineari in i>o,n+'. , ^011+2, ... rispettivamente. 



