10 aUSTAVO SANNIA — CARATTERISTICHE MULTIPLE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 



Tutto ciò solo in generale, perchè può accadere che, fissate po,n+ì, ■-, Po.n+r-2, "suiti 

 Ar,r-K.k-i=^ ^ per qualche intero r>h-{^l (in numero di i al piìi) ; in tal caso la (1% 

 diventa un'equazione diiferenziale di ordine k — i — 1 al più in po,n+,—i (se non son tutte 

 nulle le Ar,r-k,o, ^r..-^, i, •■■■ ^,-..- k. k_t-i) o una condizione a cui deve soddisfare la po,>i+>--2 

 (nell'ipotesi contraria); dunque in tal caso la pa,n+r-i o dipende da A- — i — 1 costanti arbi- 

 trarie al più è arbitraria o non esiste. 



9. — Quanto si è detto nel ii" 8 vale per fc^l,2, ...,v — 1: si giunge cosi alla 

 classe Fv,v i, nella quale si suppone che le funzioni (17)', per k = v — 1, non siano tutte 

 nulle. 



Classe Fw. — Or supponiamo che anche queste funzioni siano nulle lungo la C,,, e 

 quindi che siano nulle le funzioni definite dalle (19) per A;z=v — 1. Raccogliendo, suppo- 

 niamo che sia lungo la C^: 



(23) A^ = A, = ... = A^ = 0, 



(17)o ,«„_, = ^ = 0, 



(17)i 



0, 



àa,,a-ì 



òy 



Otto.»*' — 1 O CtQìi 



«0.-1-2 ;^., ;^„2 



dav— 2,»i-V+2 



_ ""V-2, l-v+2 fi 



aV-2,n-V+l — V- — U , 



av-3.«-v+i - ^- - 5p - 



Oo,..-v+i — Y^ — ... — j,^v-i —^U- 



Allora, per le (6), saranno nulle le funzioni : 



(24) 



-^r,r-2.0 ) Ar,,— 2,1 (^ S> 2), 



f 



Ar,r-y+l,0 r Ar,r--J + l,l , ■■•, j4.,.,r_v + l,V-l ('" Z> V 1). 



Ne segue che le (I)i, ..., (I)v saranno soddisfatte identicamente e che le rimanenti (l)v+i, ... 

 si ridurranno alle seguenti : 



/T"l „ d^Po.n+i _i_ \ A d'Po.n+l , j _ r. 



(l jv + 1 «V.n-V ^ |- ^ ^V+l.l,< ^^i -r -^V+l y , 



.■=v-l 



•=0 t=0 



(l Jv+2 «V.n-V ^ h ^ ^V+2,2,i -~^i |- ^ ^V + 2,1,,- J-i |- ^V + 2 ^ , 



=V-*I 



(*) Si noti che queste condizioni che caratterizzano le Cu della classe Yw sono perfettamente analoghe 

 a quelle che caratterizzano le C„ della classe generica Yvk, anzi si deducono da queste ponendovi k=v. 

 Però, mentre le Y^k {k<.v) esigono ancora che le funzioni (17') non siano tutte nulle, nessun' altra condi- 

 zione esigono le Fvv. 



Il 



