MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SERIE II, VOL. LXIV, N. 13. 1 1 



Essendo av,n-v=^0, queste sono (senza eccezioni) equazioni differenziali lineari di 

 ordine v in ^o.»+i> ^o.»+2i ••• rispettivamente, e però danno queste funzioni con v, 2v, 3v, ... 

 costanti arbitrarie rispettivamente. Dunque la C„ è contenuta in infinite C,,^.^ (h = 1, 2, ...) 

 dipendenti da hv costanti arbitrarie. 



Inoltre, ragionando come nel n° 8, si vede che: se due superficie integrali passanti per 

 la C„ hanno in un suo punto un contatto di ordine n -[- h, avranno un contatto di ordine 

 n + h — V -|- 1 almeno lungo tutta la d. E come per le altre classi, si vede che le carat- 

 teristiche della classe I^vv dipendono da n — v funzioni arbitrarie di una variabile (se esistono). 



§ 4. — Superfìcie integrali passanti per una C„ della classe l\v- 



10. — 11 teorema di Goursat (§ 3, n. 5) sulle superficie integrali passanti per una 

 caratteristica semplice di una equazione qualunque (F) è stato esteso da E. E. Levi (*) ad 

 alcuni tipi di caratteristiche doppie e da me (**) ad alcuni tipi di caratteristiche triple e 

 quadruple. Ora lo estenderemo a tutte le caratteristiche v-ple delia classe Fw di un'equa- 

 zione lineare (I). 



Se l'equazione (I) è regolare, analitica nell'interno di una sua caratteristica C„ \-pla, ana- 

 litica, della classe Yw, per la G„ passano infinite superficie integrali analitiche nel suo intorno: 

 una di tali superficie risulta individuata quando le si imponga di passare per una curva arbi- 

 traria f di elementi di ordine v — 1, tale però che incontri la G.^ in un punto (e dia in esso 

 per l'elemento di ordine n-\- l determinazioni concordi con quelle date dalla CJ. 



Per semplificare la dimostrazione supporremo che la data C'„ sia la curva di elementi 

 di ordine n. 



(1") ■g — z:^pif^=J]^^=^...=PQ^—0, 



ciò che, come è noto (***), può sempre ottenersi con un opportuno cambiamento delle varia- 

 bili X, ij, z eseguito sulla (I). Essendo inoltre av,n-v='=0, potremo risolvere la (I) rispetto a 

 p-i.n-t, riducendola alla forma: 



P^n-^l^^l\X,y,Z,Pifj.pQi, ■■■, PnO ■■■ i'v + l.a-V-l ) ^'v— l,»i-V+l , ■■•! Ponjj 



ove f è una funzione l'egolare, analitica nell'intorno di un punto della (1"), che supporremo 

 sia il punto (origine) a; = y ^ ^ ^j5io = ■•• = Po» = 0. Precisamente si ha 



(I") Pv,«-v =/'^a' + 2j '^W*' 



ove 



/ a , aik 



a — ~ , a ììi — 



e l'apice apposto al simbolo Z indica che dalla somma deve essere escluso il termine cor- 

 rispondente ai valori i = v, k^n — v degli indici. 

 Le (1") soddisfanno la (I"), quindi sarà : 



(25) a' = ; 



(*) Loc. cit., § n. 



(**) Loc. cit., § XVI. 



("•) Cfr. GouESAT, loc. cit., §§ 83 e 211. 



