12 GUSTAVO SANNIA — CARATTERISTICHE MULTIPLE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 



soddisfanno pure le (7), quindi sarà : 



(26) d On ^^ (t 1,»-1 ^ •■• ^^— f* V-l,»-V + l ^ "• 



Inoltre dobbiamo tener conto delle condizioni (23), (17)o, (17)i, ..., (17)v-2 che espri- 

 mono che la (1") è della classe Fw: le (23) qui diventano: 



(27) 



òa' _ ^a' __ òhi.' 



hva' 



dj/v 







e le rimanenti restano inalterate (col solo cambiamento delle a^ nelle «',„). 



Tutte le condizioni ottenute per le a', a'jk debbono essere soddisfatte dai valori (1") e 

 per ogni x, ossia per /y = e per ogni x (essendo le a', a'jk funzioni delle sole x, y). 



Fra queste condizioni, le (25), (27) esprimono che lo sviluppo in serie di a', e quindi 

 anche quello di f, non può contenere termini che (a parte il coefficiente numerico) siano di 

 uno dei tipi seguenti : 



x\ i/x-, 2/%-, ..., .fx- (w = 0,1,2,...). 



Le altre condizioni (26), (17)o, .. , (17)v-2 possono compendiarsi nelle seguenti: 



(fc=l,2,...,v;i=0.1,...,v— A;), 



(^ j,ii— V+*; ' 



òni^v„-v-i-)i, d''-'^a'i^n~v+k 



òtj 



dy" 



ed esprimono che lo sviluppo in serie di 

 non conterrà termini dei tipi: 



i.n-V+k 



x", ijx^, ..., /-'a^"" 



(A:=1,2,...,V;; = 0,1,...,V — A:) 

 [m = 0, 1, 2, ...), 



e quindi che lo sviluppo in serie di f non conterrà termini dei tipi : 



X Pi,n-V+k ! X y Pi,n-V+li • ••■) X y Pi,n--i+Ti 



Ciò premesso, siano 



{m = 0, 1, 2, ... ; ^ = 1, 2, ..., v; * = 0, 1, ..., v — k). 



'Po(y), 1 (;?/), -, fPv-i(y) 



V funzioni arbitrarie della sola y, tali però che per ^z = si annullino insieme con le loro 

 prime n derivate. 



Per un noto teorema del Goursat (*) esiste un'unica soluzione z^p^,f^ della (I"), tale che 



(28) 

 (29) 



per iy = sia ^oo =1^01 — ^02 — •- =^o.-.-v_i = 



per .T = sia p^o = cpo [y), pio — cpi («/), .... y^v-i.o = <Pv-i.o [y)- 



Le (29) definiscono una curva t di elementi di ordine v -f- 1 appartenente alla detta 

 soluzione z (**). 



(*) Loc. cit., voL II. § 210. 



(**) Infatti le rimanenti funzioni pih(Q<i-\-k<v — 1,^=1=0) di y, necessarie per la completa cono- 

 scenza della curva 1, si deducono dalle (29ì medesime: 



jo* = 



d" Vi (y) 



V 



