MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATOK., SEKIE II, VOI.. LXIV, N. 13. 13 



Resta a dimostrare che la detta soluzione contiene anche la caratteristica (1") ossia 

 che essa 



per y ^ dà 7;,^ := (0 ^ i -|- A; < n). 



Or siccome 



dpik = i^.+i.i dx + jj,,i+i dy , 

 si ha : 



da i-iò SI deduce, per le condizioni iniziali (28), che è : 



^,s = per «/=0 (A- = 0,j,...,« — V — l;j = 0,l,2,...). 



Resta dunque a dimostrare che, per y = e per ogni x, sono anche nulle le funzioni 

 di X 



Pff. {k=zn — V, M — V -j- 1 , . .., n ; < i + A; < w) ; 



perciò basterà dimostrare che nel punto iniziale x ^0 son nulle queste funzioni e tutte le 

 loro derivate rispetto ad x, cioè che risulta per a; = 0: 



Pi,n--i = fi.n-t+l = ••■ = Pin = («=0,1, 2, ...). 



Ora. per le (29) e per le condizioni iniziali imposte alle cpo, .... cpv_i , ciò è vero per 

 i = 0. l,....v — 1. e d'altra parte la (!'') dà |>v, ,>-v = "; dunque l'assunto è dimostrato per 

 tutte le derivate p^, di z di ordine non maggiore di n. Ammettiamolo per le derivate di 

 ordine non maggiore di n -\- j. 



p,T! con 0<i-\-k<,n-\-j ij>0, k-<,n) 

 e dimostriamolo per quelle di ordine ti, -\- j -\- 1, cioè per le 



La j?j+./_i.ii_v si ottiene da f derivandola ;'+ 1 volte totalmente rispetto ad j. In /'non 

 compaiono termini del tipo x" e ciò varrà pure pel nuovo sviluppo, ciascun termine del 

 quale conterrà quindi come fattore almeno una delle variabili y, z, jj^ {i-\-h^n-\-j -\- 1, 

 k<n), tranne la ^'j+v+i.^-v medesima. Or queste variabili si annullano tutte per a;=0, 

 tranne forse le 

 (<j1) A+v.'/i— v+1 , •••, Pj+i.n. ; 



dunque i soli termini del detto sviluppo che potrebbero non annullarsi per x = sarebbero 

 quelli dei tipi (-31) (a parte un coefficiente numerico). Ora tali termini dovrebbero provenire 

 da termini di f dei tipi 



X p./_i..^_v+l ; X p</—2,n—V+2 ) ••■• ■'' Pon , 



mentre che questi termini non esistono in f; dunque tutti i termini dello sviluppo della 

 funzione pj+v-i. ^^v, e quindi la funzione stessa, si annullano per x=^0. 



Così si prosegue per tutte le funzioni (30). Per provarlo ammettiamo di aver dimo- 

 strato che è, per x^= 0, 



Pj + V+1,»-V = ft-4-V,n-V+l = ... = iJj+v + l-r,«_V+^ =0 (0<r<V— l) 



