14 GUSTAVO SANNIA — CAPwATTmaSTICBE MULTIPLE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 



e dimostriamo che saia pure : 



(32) Pj+^-,:n-V+r + l = pCP X = 0. ML 



Infatti, se 7 = 0, 1, ..., r — 1, la (32) ha il primo indice minore di v, quindi è nulla 

 per a; = 0, in virtù delle (29) e delle condizioni iniziali imposte alle cpy. ..., cpv_,. Se poi 

 j > )•, essa si può ottenere derivando f totalmente j — r volte rispetto ad a; ed r + 1 volte 

 rispetto ad y: siccome f non contiene termini del tipo x'" y"^^, il nuovo sviluppo non potrà 

 contenere termini del tipo x\ cioè ogni suo termine conterrà come fattore almeno una delle 

 variabili y, z, pik (i + fc < « -\-j-\- 1, k <ìt -\~ r — 1) tranne la p,-4_v+,-, ..-v+r+i medesima; e 

 tutte queste variabili si annullano per x^O, tranne forse le 



(33) ft + V + r-l.o-VH-r+2 ! •■•) Pj+l,x , 



(34) pi.„+i {i <,y), pi,„+2 (< <j — 1), -., Pi.n+r+i {i <i — »•)■ 



Ma termini dei tipi (33) non possono esistere, perchè dovrebbero provenire rispettiva- 

 mente da termini di f dei tipi : 



X JOv— 1,11— V+l 1 ■*' /"v— 2,»t-V + 2 1 •••> ^ Pon > 



e questi non esistono in f. Così pure un termine : 



Pi.n+, (s= 1, 2, ...,r+ 1; i<y— s) 



del tipo (34) non potrebbe provenire che da termini di / di uno dei seguenti tipi : 



X Pi^n-^s—r — 1 1 X y Pi,n-\-s — r j •••» X y Pini 



e questi non esistono in f. 



Da tutto ciò segue che tutti i termini dello sviluppo della funzione (32), e quindi la 

 funzione stessa, si annullano per a? = 0. e. d. d. 



§ 5. — Conclusione. 



11. — Dalla discussione fatta al § 3 concludiamo che le caratteristiche v-ple (v ^ 1) 

 di un'equazione lineare (I) si possono distribuire in v elassi 



-^Vli Jv2j •••! -'^VV- 



Ciò che essenzialmente distingue le C„ di una classe da quelle delle altre è il numero 

 delle funzioni arbitrarie da cui esse dipendono: le caratteristiche della classe Yv^ (k = 1, 2 ..., v) 

 dipendano da n — k funzioni arbitrarie di una variabile (se esistono). 



Per tale rispetto, quelle della prinui classe Yvi si comportano come le caratteristiche sem- 

 plici (§ 3, n. 5), poiché il numero delle funzioni arbitrarie da cui dipendono è w — 1 [mas- 

 simo numero possibile). 



Al contrario, quelle dell'ultima classe Fvv dipendono da un numero minimo di funzioni 

 arbitrarie, cioè n. — v. 



Le caratteristiche di una classe intermedia Fv,i (A; =^ 2, 3, ..., v — 1) possono essere di 

 h tipi diversi 



Y' V" yf'' • 



-t Vi) -1 V/i) ...) -f Vi) 



I 



