MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDR., SERIE II, VOI,. I,XIV, N. 13. 15 



e quelle di ciascun tipo si tlistinguono da quelle dei rimanenti per il numero delle costanti 

 arbitrarie da cui dipendono le caratteristiche di ordine superiore C„+,, (/* =; 1, 2, ...) in cui 

 sono contenute. 



Quanto si è detto al n. 3 sulla classe Fvv vale senza eccezioni. Invece, come abbiamo 

 visto (n' 7 e 8). fra le (7„ delle classi rimanenti l'vj, ..., Fv, v-i ve ne possono essere delle 

 eccezionali, ribelli alle leggi alle quali sono sottoposte le altre della medesima classe. Per 

 studiarle più davvicino. avremmo dovuto proseguire la classificazione suddividendo ancora i 

 tipi delle dette classi. Non lo abbiamo fatto, sia per non ingolfarci in una classificazione 

 troppo minuta, e sia principalmente perchè, come vedremo (§ 6), le caratteristiche eccezionali 

 possono presentarsi soltanto isolate: 



Tuttavia vogliamo far rilevare che, come si è visto, queste C,^ eccezionali sono conte- 

 nute, in caratteristiche di ordine superiore C„4.;, che possono dipendere anche da funzioni 

 arbitrarie, e quindi da un numero infinito di costanti arbitrarie, mentre che pei- le C» ordi- 

 narie questo numero è sempre finito. 



In principio abbiamo segnalata una certa analogia esistente fra le C„ v-ple della prima 

 classe Fvi e le Gn semplici; ma ora osserviamo che le C„ dell'ultima classe Yw sono la ijìù 

 naturale e completa estensione delle caratteristiche semplici. Perchè se nelle proprietà delle 0„ 

 della classe Fw (cfr. n' 9 e 10) si pone v ^ 1, si ritrovano tutte le proprietà delle C» sem- 

 plici (ricordate nel n. 5). 



Anzi si può dire che le C„ della classe Fw sono le sole alle quali spetti senza alcun 

 dubbio il nome di " caratteristiche „; perchè condizione essenziale affinchè una curva di 

 elementi di ordine n sia una caratteristica di un'equazione (I) o (F) è che essa appartenga 

 ad una superficie integrale (*) e noi sappiamo soltanto che questa condizione è soddisfatta 

 dalla Cn della classe Fw (§ -1). 



Resta adunque aperta la quistione di sapere se per una C„ di una delle altre classi 

 Fvi, ..., Fv.v-i passano oppur no delle superficie integrali (quindi di sapere se dette Ci sono 

 oppur no delle effettive caratteristiche) e, nel caso affermativo, di determinarle. Credo che la 

 risoluzione di questa quistione richieda necessariamente la prosecuzione della classificazione, 

 nel senso spiegato piìi su. 



Allo stato attuale della nostra ricerca possiamo soltanto affermai-e che esse sono pos- 

 sibili caratteristiche e che, se lo sono, godono delle proprietà da noi enunciate. 



§ 6. — Sistemi di caratteristiche. 



12. — Finora abbiamo studiato una C„ v-pla fissata della (I). considerandola indipen- 

 dentemente da tutte le altre caratteristiche. Or vogliamo considerare i sistemi di caratte- 

 ristiche. 



Questi sono in numero di n, distinti o non, in corrispondenza alle radici dell'equa- 

 zione (II), algebrica di grado n in dy : dx. Queste radici sono, come i coefficienti della equa- 

 zione, funzioni delle sole x. y; quindi, con un cambiamento di queste variabili eseguito 

 sulla (I), possiamo rendere una determinata radice uguale a zero (**); sicché su tutte le 



(*) Almeno secondo la definizione da noi adottata al n. 1 e che ci .sembra la più opportuna. 



(**) Se \(x,y) è una radice fissata della (II-, si consideri l'equazione differenziale dy ^ \{x,y)dx e il suo 

 integrale generale q) (x, y) = costante : eambiando la variabile y in un'altra r\ col porre '\>{x.y)^r\, la (1) si 

 trasforma in un'equazione dello stesso tipo e la corrispondente equazione (II) acquista la radice dr\ :da; = 0. 



