16 GUSTAVO SANNIA — CARATTERISTICHE MULTIPLE UELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 



caratterisbiche d del sistema cori-ispondente risulti y ^ costante (*). Vogliamo considerare 

 particolarmeate il caso in cui tutte le G,,, del sistema siano multiple e con lo stesso grado v > 1 

 di muUiplicità e che siano tutte della medesima classe Yvt (A: = 1, 2, ..., v) (**), almeno nel 

 campo di variabilità che si considera per le x e ^Z- 



Allora dovranno essere soddisfatte le (7) e le (16), (17)o, (17)i, ..., (17)t_2 che carat- 

 terizzano la classe Fv^; inoltre, se k<^v, le funzioni (17)' non dovranno essere tutte nulle 

 (cfr. il n. 8 e la nota al n. 9). Nei n' 8 e 9 queste condizioni dovevano essere soddisfatte 

 per ogni x e per un particolare valore di y{y=^0); qui invece dovranno essere soddisfatte 

 per ogni x e per ogni y. insomma quelle condizioni dovranno essere soddisfatte identi- 

 camente. 



In conseguenza di ciò, si vede subito che fra le dette condizioni le sole indipendenti 

 sono le seguenti (***): 



(o5) (^on =^ tì!i,,i— 1 =^ ••. ^ flv— l,?i— V + 1 ^ ", "v,»— V ■ ", 



'^O.n— 1 ^= ^1,11-2 ^ <^2.i!.-3 -— ■■• ^-^ ^/;-2.>i— l + l =-^ ", 

 /c,c\ ) (^O/n-a = '^^l.n—S = ... = «/;_3.,i_;,-|.i = U, 



(db) \ 



\ «O.K.- IS+1 ^^ "• 



(37) A^ = A^ = ... = A^ = 0. 



Inoltre fra le funzioni (17)' le sole che non siano nulle identicamente, in conseguenza 

 delle (35) e (36), sono le 



(38) ra;;_l,n_/c , fl!/;_2.,i_i; , ..., ("0.11— Il ' 



dunque, se k<^v, queste funzioni non debbono essere tutte nulle. 



Da tutto ciò raccogliamo che: Le (3.5) e (36) [e il non annullarsi di tutte le (38), se 

 k <I v] sono condizioni necessarie e sufficienti affinchè la (I) abbia un sistema di caratteristiche 

 [lungo le quali sia y ^ costante) che siano v-ple e della classe Yy^ (k = 1, 2, ..., v). 



Le condizioni rimanenti (37) involgono, non solo i coefficienti della (I), ma anche le 

 funzioni 



(39) z=poo, Pai,P02, --nPon 



di X, come risulta dalle espressioni (8) delle A^, ..., A,^. 



Queste funzioni e le altre pi^ [0 < i -\- k^n, i=l=0) che se ne deducono mediante 

 le (III), determinano le caratteristiche del sistema che si considera. Dunque: la (I), le (37) 

 e le (III) sono le equazioni delle caratteristiche del sistema considerato. 



13. — Le Cn della classe Y^ [k = 1, 2, ..., v — 1) si suddividono in k tipi 

 I^'^v/i (i= 1, 2, ..., A:), e dal n. 8 risulta che una C^ della classe Y^th © del tipo Y^'\h se son 

 tutte nulle le funzioni contenute nelle prime i — 1 orizzontali del quadro (17)', ma non sono 



(*) Ciò si verifica appunto nella particolare C„, (!') finora considerata. 



(*') Ciò accadrà, per es., se la (I) è a coefficienti costanti. 



(***) Infatti le rimanenti si deducono dalle (-35) e (36) mediante derivazione rispetto ad y. 



