18 GUSTAVO SANNIA. — CARATTEHISTICHE MULTIPLE DELLE EQUAZIONI LINEARI, ECC. 



Osserviamo però che quando le caraii eristiche sono della classe Y„„, l'equazione (non è 

 una eflfettiva equazione alle derivate parziali, ma) si riduce ad una equazione alle derivate 

 ordinarie rispetto ad x, nella quale la variabile y entra soltanto nei coefficienti come para- 

 niv^tro. Ciò si deduce subito dalla (41) ponendovi k = v --=-n. 



Negli altri casi invece la (I) è una effettiva equazione alle derivate parziali; quindi sì 



hanno n — 1 classi, ossia 1 -|- 2 -|- ... -|- (n — 1) = ^ — - tipi di effettive equazioni para- 



Ci 



boliche. 



17. — Or supponiamo v < «. Allora l'equazione (41) avrà, oltre al sistema di C„ v-ple 

 della classe Y^^, almeuo un altro sistema di caratteristiche. Come lungo le C„ del primo 

 sistema abbiamo reso y ■= costante, cosi possiamo supporre che lungo le C„ del nuovo 

 sistema sia ;» = costante (ciò che può ottenersi cambiando la variabile .«). Sia poi (a il grado 

 di multiplicità di queste nuove caratteristiche, ove )i<« — v. 



Se |l1 = 1, la (II) avrà la radice semplice dx : dy ^ 0, quindi sarà a„g ^ 0, a„_i,i=i=0 

 nella (41). Che se poi n>l, potremo applicare alle nuove caratteristiche la classificazione 

 del § 3, e però esse potranno appai-tenere a m classi distinte, che indichiamo con Xy^, 

 X^2, ..., Xf^lJ.•, e quelle della classe Xm, (A ^=1,2, .... ^ — 1) potranno essere di h tipi 

 distinti X'^'^ft (y=; 1, 2, ..., /ì.). Le condizioni affinchè appartengono alla classe Xju,h si dedu- 

 cono da quelle contenute nel teorema del n. 12 cambiandovi v e A- rispettivamente in \i e h 

 e scambiando gli indici delle aa nelle condizioni medesime. 



Imponendo queste nuove condizioni alla (41), si avrebbe un'equazione avente due sistemi 

 di caratteristiche multiple appartenenti a classi prefissate X^^ e Y^h. 



§ 7. — Classificazione delle equazioni dei primi cinque ordini. 



18. — I risultati precedenti ci permettono di dare le espressioni di tutti i tipi possibili 

 di equazioni dei primi cinque ordini (perchè non possono avere piti di due sistemi distinti 

 di caratteristiche multiple), ponendo in evidenza la classe a cui appartengono le caratteri- 

 stiche di ciascun sistema. 



Equazioni di primo ordine : 



(42) «10^^10 + -5 = 0. 

 Equazioni di secondo ordine : 



(43) a„pji + ii; = 0; 



(44) (Yai), O2oi'2o + «oi Poi + «io ^^lo + -K = ; 



(45) (F22), a2oP2o 4- a 10 Pio + -R = 0. 



Equazioni di terzo ordine : 



(46) a 12 pi2 + «21 P21 + -B = ; 



(47) (Tal), «21^21 + «02 l'o2 +«11 i5ii+ «20^20 + -?i' = 0; 



(48) (F22), a2ii'2i + «ui^u -h «20P20 + jK = ; 



(49) (Fai), a so Può + «02 ^^02 + «n Pn + a2oi'2o + -B = ; 



(50) (F32), «30 Pfc + «11^311 +«20^20 + «01 1^01+ «10^^10+ -B = 0; 



(51) (Fgs), agoPao + «20P20 + «io Fio + «ooi'oo + /? = 0. 



