2 ERNESTO LAUKA — SOHKA IL PKOBl-EMA ESTEKNO DELLA DINAMICA, ECC. 



Il problema esterno non mi sembra potersi porre in modo analogo sia perchè, in gene- 

 rale, le vibrazioni libere (^) di un coi-po indefinitamente esteso non sono suscettibili di defi- 

 nizione, sia perchè non si saprebbe quali debbano essere le condizioni da imporsi all'infinito 

 alle funzioni incognite. 



Le ricerche notevoli di questi ultimi anni riferentisi alla Dinamica elastica, del Tedone, 

 del Love e del Soniigjiana ebbero di mira, in modo speciale, di dare veste matematica al 

 principio di Huygens nel caso in cui nel mezzo elastico si possano propagare simultanea- 

 mente onde longitudinali e onde trasversali, o di estendere l'integrale di Foisson, relativo 

 all'equazione caratteristica delle vibrazioni longitudinali e trasversali, al caso dei mezzi ela- 

 stici isotropi (^). La forma data dal Somigliana alle formolo di rappresentazione degl'inte- 

 gi'ali delle equazioni dei piccoli moti dei corpi elastici isotropi è particolarmente semplice 

 ed utile per le applicazioni. Esse non portano però luce direttamente sul problema proposto, il 

 quale poti'à invece essere posto basandosi sopra l'osservazione del Love (^), che attravei'so la 

 superficie mobile di separazione di due parti di un mezzo elastico in cui si hanno diversi moti 

 lo spostamento è sempre continuo, mentrecchè discontinue risultano le tensioni e le velocita. 



Si imagini un mezzo elastico, omogeneo, isotropo indefinito, inizialmente in quiete, dotato 

 di una cavità, sulla superficie a della quale (supposta convessa) son date le tensioni (o le 

 velocità) ad ogni istante < > 0. Attraverso la superficie o, all'istante ^^0, le tensioni (e 

 velocità) sono discontinue, poiché nei punti esterni ed oomente prossimi a (T si ha tensione 

 nulla, e tensione diversa da zero nei punti prossimi a o ed interni ; la superficie o deve 

 dunque, inizialmente, considerarsi come il bordo dell'onda. Il modo con cui suppongo pro- 

 pagarsi nel mezzo indefinito il moto è allora il seguente. Ad ogni istante f^O conside- 

 riamo due superficie o/"', o,'*' ottenute da o portando sulle sue normali esterne, a partire 

 dai punti di o stessa, dei segmenti rispettivamente eguali ad a< e a bt (a, b sono le velo- 

 cità di propagazione delle onde longitudinali e trasversali, sicché a > è). La a/" racchiude 

 nel suo interno i punti la cui vibrazione all'istante t è decomponibile in una parte trasver- 

 sale ed una parte longitudinale, mentrecchè lo spazio compreso tra a,'°' e (J/'' è occupato 

 da punti la cui vibrazione è puramente longitudinale. Tenendo conto allora dell'osservazione 

 del Love e che all'esterno di o,"* non vi è moto, pongo il problema esterno della Dinamica 

 elastica sotto la forma seguente, supponendo date sopra a le tensioni: 



Determinare sei funzioni (ui , Vj , Wj) (uj , Va , Wg) regolari all' esterno della superficie 

 chiusa a (convessa), per modo che le prime tre definiscano una vibrazione longitudinale, e le tre 

 ultime una vibrazione trasversale e soddisfacenti inoltre alle condizioni seguenti: 

 1° Sopra O e per t]>0 alle equazioni: 



Zv'" + Zv'^' + L= Tv'" + r/> + M= ;ìv"' + ifv''> 4- ^^= 0, 



dove le (Xv'"', ...) (Xy'^', ...) sono le tensioni dovute rispettivamente alle (uj, v^, Wi) e alle (ug. 

 Va, W2) attraverso l'elemento di o di normale esterna v, e (L, M, N) sono le tensioni date 

 sopra a per t > e continue per gli stessi valori di t. 



{') Cioè vibi-azioni regolari airestenio di una superficie chiusa a, uell'ipotesi che il mezzo elastico in cui 

 sono generate non sia sollecitato da forze di massa, e che danno sopra a tensioni nulle. 



(■-) Cfr. Sulle vibrazioni, dei corpi solidi, omogenei ed isotropi. Memoria di 0. Tedone in ' R. Accademia 

 delle Scienze di Torino ,, 1897. 



A. E. H. Love, The propagation of Wave motion in an isotropie elastic medium. " Proc. Lond. Math. 

 Society ,, voi. ], 2° serie, 1906, pag. 291 e seg. Nel seguito indicata con (A). 



C. SoMioi.iANA, Sopra alcune formale fondamentali della Dinamica dei mezzi isotropi. Tre Note (1906 e 1907). 



0. Tedijne, Sull'estensione dell'integrale di Poisson relativa all'equazione dei potenziali ritardati al caso della 

 isotropia elastica (Nota). ' R. Accad. delle Scienze di Torino ,, 1907. 



(^) Wave-motiotis with discnntinuities at wave-fronls. " Proc. Lond. Math. Soc. ,, voi. I, 2° serie, pag. 37 (B).' 



