10 ERNESTO LADRA — SOPRA IL PROBLEMA ESTERNO DELLA DINAMICA, ECC. 



Le prime di queste condizioni, per quanto precede, sono : 



(5) Mi ;= ^i = Wi = sopra ff/"' per ogni f^Q. 



(6) «1 + «2 = Ui , Vi + i'2 = Vi , it'i + 'f'2 ^ iPi sopra ff,''"' per ogni t > 0. 



Le (6) danno pure : 



Mg = V2 ^ u)2 = sopra cr/°' per ogni i ^ 0. 



La vibrazione trasversale è dunque quella stessa che sarebbe qualora essa si propagasse 

 in un mezzo inizialmente in quiete. L'ipotesi dunque fatta equivale ad ammettere che la solu- 

 zione richiesta del problema sia la somma di due soluzioni, longitudinale luna, trasversale l'altra, 

 di cui ognuna è caratteristica di vibrazioni propagantisi in un mezzo inizialmente in quiete. 

 Essa cioè si riferisce alla decomposizione di una vibrazione generica in una parte trasversale 

 e in una parte longitudinale, decomposizione che va intesa in un senso piìi ristretto di 

 quello in cui tale decomposizione è generalmente ammessa. 



Le condizioni verificantisi sopra G si scrivono facilmente. Sia n la normale esterna 

 a (T, la tensione attraverso l'elemento di normale n indichiamola con (X,i'", F„"', ZJ") o 

 con (X„'^', YJ^\ 2'„'*') secondo che essa si riferisce alla vibrazione longitudinale o alla tra- 

 sversale. Se sopra a sono date le velocità avremo le ulteriori condizioni : 



ò (ui + Ma) ò (vi -}- ^a) (ò Wj + w^) .j. ■. 



dt ' dt ' òt ~ ^' ^' ^>' 



dove le f, qp, ^> sono funzioni continue dei punti di definite per tutti i valori di ^> 0. 

 Se invece sono date le tensioni avremo da soddisfare sopra a alle equazioni : 



(X„'" + X„« + L, F.'" + YJ'> + M, ZJ'i + Zf^ +N)=0, 



dove L, M, N (tensioni date) sono funzioni continue dei punti di a e di ^ definite per i 

 valori di t>0. 



In definitiva il problema esterno della Dinamica elastica verrà posto (nel caso ad es. in 

 cui sono date le tensioni) nella forma seguente : 



Determinare sei funzioni (ui Vi Wi) (ug V2 Vfi) dei punti dello spazio esterno a a e per t 

 valori di i'^0 verificanti le condizioni seguenti : 



1° Le (uj, Vi, Wi) sotio definite nello spazio S/°' dove sono regolari e ivi verificano le 

 equazioni indefinite : 



-^ («1 , Vi , wi) = «2 A (mi , Vi , Wi) 



rotor («1, fi, «'1) = 0. 



Sul bordo dell'onda 0,'"' e per ogni valore t^O si ha inoltre : 



Ui = t^i = M?! ^ 0. 

 2» Le (?<2, V2, W2) sono regolari nello spazio S,"' e ivi verificano le equazioni indefinite; 



j -J^ ("2 , ^2 , it>2) = 6^ A (Mj , V2 , W2) 



f div (mj, v^, m'j) ^ 0. 



