MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUK., SERIE li, VOL. LXIV, N. 16. 15 



e quindi sarà nullo l'integrale esteso a a/". In ultima analisi la (9) assume la forma: 

 (12) \^,^,,iT, + W,)dS + l^,,iT-{-W)dS=~\ldt\^(x.^^Y.^ + Z.^)da. 



Si riconosce in essa il teorema delle forze vive. Il 1° membro rappresenta, per le ipo- 

 tesi poste, l'energia totale (somma dell'energia cinetica e dell'energia potenziale) acquistata 

 dal mezzo indefinito nell'intervallo considerato; il 2° membro, osservando che le X^, F„, Z^ 

 equilibrano le forze esterne che danno luogo al moto, il lavoro per lo stesso intervallo di 

 queste forze esterne. L'equazione (12) è cioè d'accordo con i principi generali della Mecca- 

 nica e può considerarsi quindi quale argomento a favore della legittimità delle ipotesi poste. 

 Da essa discende subito il teorema di unicità per il problema proposto. Se invero sopra 



• i. \r -tr rz n du dv dtv „ 



si ha Jl„ ^ 1 „ = z„ =; oppure -r-- = -r- =: -r- = consegue : 



W (^ + ^0 ^S = j^,„,, {T,+W,)dS=0, 



dalie quali per essere positivo sia T, Ti, sia W, W^ discende l'annullarsi di queste quantità 

 e quindi assenza di moto nel mezzo indefinito. Da questa osservazione per la linearità del 

 problema si deduce l'unicità di soluzione con un ragionamento molto solito nella Fisica 

 Matematica. 



Qualora il mezzo elastico potesse trasmettere solo vibrazioni longitudinali (mezzo fluido), 

 si avesse cioè è = 0, la (12) assume la forma più semplice: 



(13) l^iT^W)dS = -ldi\XxJi,^Yj-^^zJf^d.. 



Equazione che traduce il teorema delle forze vive per la propagazione del moto all'esterno 

 di una superficie cT chiusa in un mezzo fluido. Da essa discende l'unicità di soluzione per 

 tale problema (i). 



Capitolo V. 



Vibrazioni caratteristiche. 



9. — Considero nel presente capitolo quegli integrali delle equazioni dei piccoli moti 



dei sistemi elastici che rispetto a queste godono della stessa importanza dell'integrale — 



rispetto all'equazione di Laplace. Questi integrali originariamente furono dati dallo Stokes 

 nella Memoria On the dynamical theory of Diffraction, e negli ultimi anni furono riconsi- 

 derati dal Love e dal Somigliana. Poiché questi integrali danno il moto prodotto in un 

 mezzo elastico indefinito da un centro di forza agente in un punto sarà utile verificare che 

 essi, debitamente interpretati, bene si accordano con la supposta propagazione di moto 

 all'esterno di una superficie chiusa. 



(*) Cfr. Nota citata a pag. 4. 



