MEMORIE - CLASSE Di SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDK., SERIE II, VOL. LXV, N. 14. 3 



ad un vettore arbitraria (non nullo). Se a non è dilatazione (Va =1=0), allora i vettori u sodisfa- 

 centi alle (1) sono paralleli a Va. 



La direzione dei vettori u sodisfacenti alle (1) è dunque, per a non numero, una finzione 

 monodroma di a, che chiameremo centro di a, e brevemente, cent a. 



Per le (1) risulta evidente che 



(3) cent a = cent Ka . 



Se l'isomeria vettoriale a è un numero (a = I 3 a), allora qualsiasi vettore ti sodisfa 

 alle (1) e quindi qualsiasi direzione può essere assunta come centro di a. 



Dira. — Ricordiamo che Ka . a = a . Ka = 1 e che (I 3 a) 2 = 1. Allora operando nei due 

 membri della prima delle (1) con I 3 a.Ka si ottiene la seconda, ed operando nella seconda 

 con I 3 a . a si ottiene la prima. Dunque le (1) sono equivalenti. 



Se x è numero reale, è noto che 



I 3 (x — a) = x 3 — Ija . x 2 -\- I 2 a . x — I 3 a , 



cioè, ricordando che I 2 a = I 3 a . La , 



(«) Mz — a)-=[x — I 3 a)ja; 2 — (La — I 3 a)x+ 1|. 



Dunque l'equazione di terzo grado in x 



(b) I 3 (x — a) =• , 



ha l'I s a per una sua radice, il che prova che esistono vettori non nulli u sodisfacenti alle (1) (*). 

 Per dimostrare che i vettori u hanno a comune la direzione, basterà provare che I 3 a è 

 radice semplice della equazione (b) iti x. Se I 3 a è radice almeno doppia della (b), si deve 

 avere da (a) 



(I 3 a)2 - (I lQ — I 3 a) I 3 a + 1 = 3 — I 2 a = ; 



ma per I 2 a = 3 si ha I 1 ct = 3I 3 a e quindi la nota identità di terzo ordine in a dà 



a 3 — La . a 2 -)- I 2 a .a — I 3 a= (a — I 3 a) 3 = , 



acioè =I 3 a, che è contrario all'ipotesi. Dunque: i vettori non nulli u sodisfacenti alle (1) 

 esistono ed hanno a comune la direzione, cioè cent a è funzione monodroma di a (**). 



(*) L'esistenza dei vettori u si può dimostrare anche così: 



Se Va =7= 0, allora dalla nota formula aVa = I 3 a .Va si deduce che i vettori u paralleli a Va sodisfano alle (1). 

 Se Va = 0, allora a è dilatazione e se i,j,1c è terna unitaria ortogonale di vettori paralleli alle sue 

 direzioni unite (o principali), si ha 



\ i, j, ~k) 



con m,n,p numeri reali aventi l'I per valore assoluto. Ma l 3 a — mnp, e poiché (I 3 a) 2 = l, uno solo dei nu- 

 meri m,n,p vale I 3 a e gli altri due — I 3 a. Ciò prova l'esistenza degli u sodisfacenti alle (1), anzi in questo 

 caso, Va = 0, è di più dimostrata l'univocità della direzione degli u. 



(**) Dopo aver dimostrata l'esistenza dei vettori u si può dimostrare che hanno a comune la direzione 

 anche così. 



Per i vettori u, v non paralleli si abbia 



(fi) au = \j,a .u, av = ì 3 a .v; 



