1 C. BUKALI-FORTI — ISOMERIE VETTORIALI E MOTI GEOMETRICI 



Se poniamo 



a = a — I 3 a , 



allora, per la (a), l 3 a = 0, e quindi l'omografia (3 deve essere un multiplo di RKa , perchè 

 per x vettore arbitrario si ha 



a . RKa ie = I 3 ct . x = 



e quindi 



a(RKa ac) = I 3 a(RKa sc). 



Oi - a per proprietà ben note si ha: 



RKa = R(Ka — I 3 a) 



= (I 3 a)2-I 3 a.Ca + RKa 



= (I 3 a)- — I 3 a . I t a -\- I 3 a . a -f- I 3 a . Ka 



= I 3 a.>a + Ka -f- I 3 a — I x a ( 



che è appunto il prodotto della [5 perl 3 a. 



Infine è noto che aVa = I 3 a.Va e quindi per Va =1=0 il cent a è la direzione di Va. 



2. Qualunque sia l'isomeria vettoriale a si ha identicamente 

 (4) a = |(I 1 a-I 3 a)+|j 3 a-ì(I 1 a-I 3 a)JH(«,M) + VaA > 



ove u è vettore unitario che, per a numero (a = I 3 a) può esser fissato ad arbitrio, e per a non 

 numero (a='=I 3 a) è uno qualunque dei due vettori unitari aventi cent a per direzione. 

 Dim. — Qualunque sia il vettore x si ha 



(a) X — (u f\ x) f\ u -\- u X * • u ■ 



Ricordando che (I 3 a) 2 = 1 , Ra = I 3 a . a e quindi a = I 3 a.Rae che, come esprimono le 

 formule (1), aw = I 3 a.M, Kaw = I 3 a.t«., si ha 



aj(«t/\«5)/\«*j = I 3 a. )o.{uf\x)\f\au 

 = )a(uf\x)[f\u 



^JIxO. u/\x — u f\Kax — l 3 a.u/\x{/\u 

 = (li a — I 3 a) (x —u X * • **) — Kaac -f»X Kaas . u 

 = (li a — I 3 a) x -f- (2 I 3 a — I x a) u X Od . u — Kaa? ; 



operando con a nella (a) si ha, 



fa -f Ka) x = (li a — I 3 a) x + (3 I 3 a — I x a) H (u, u) X ; 



moltiplicando vettorialmente 



(cut) A av — u A v 



ovvero 



Ro(m A v) = u A v. 

 Ma Ra = I 3 o.a e quindi 

 (d) a (u A v) = I 3 a . u A v. 



I vettori u, v,u f\v non sono complanari e quindi dalle (e), (d) segue che a = I 3 a, il che è contrario 

 all'ipotesi. 



