MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUR., SERIE II, VOL. LXV, N. 14. 



e poiché x è vettore arbitrario, 



a -f Ka = li a — • I 3 a -f j 2I 3 a — (I t a — I 3 a)j H (u, u) 



che dimostra la (4), poiché, come è ben noto, 



a + Ka = 2 Da e a = Da -4- Va f\ . 



Osservazione. — Se a è numero, cioè a = I 3 a, allora 



I 1 a = 3I s a , I 2 a = 3 , Va=0 



e la (4) dà, identicamente, a = I 3 a. 



Se a non è dilatazione cioè Va =t= 0, allora si può porre 



Va 



modVa 

 e la (4) assume la forma 



(4') a = {(I 1 a-l3a)+^|l3a-l(I 1 a-I 3 a)|H(Va,Va)^VaA. 



3. Essendo a isomeria vettoriale porremo 



(5) ang a = ang (x, ax) 



essendo x vettore non nullo scelto ad arbitrio tra i vettori normali a quelli che hanno 

 cent a per direzione (e quindi x del tutto arbitrario quando a è numero). 



Segue che ang a è numero reale positivo dell'intervallo 0"tt e che dimostreremo ora 

 essere funzione monodroma di a, cioè indipendente dal vettore x che comparisce nella (5). 



Se a è isomeria vettoriale, allora ang a e funzione monodroma di a che resta individuata 

 dalle due condizioni seguenti 



(6) cos anga= — (I x a — I 3 a) 



(7) sen ang a = mod Va . 



Inoltre si ha 



(8) ang Ka == ang a 



e ang a = 0, ovvero ang a = tt solamente quando a è dilatazione, cioè Va = 0. 



In particolare per a = I 3 a , cioè quando a è numero, si ha cos ang a = I 3 a, cioè ang a = 

 per a = 1 e ang a = tt per a = — 1 . 



Dim. — Conservando le notazioni del n. 2 ed essendo X vettore non nullo normale 

 ad u si ha dalla (4) 



a:Xa«= ^-(Iia — I 3 a){w 2 , 

 e poiché x, ax hanno egual modulo 



cos ang a = cos (x,ax) = x .^°° = — (Ija — I 3 a) 

 che dimostra la (6). 



