<> C. BUltALI-FORTI — ISOMERIE VETTORIALI E MOTI GEOMETRICI 



Nella stessa ipotesi per x, ed osservando che Va è o nullo o parallelo ad u, si ha subito 



dalla (4) 



x f\ ax = x 2 . Va ; 



ma si ha pure, a causa della (5), 



mod (x /\ ax) = X 2 . sen anga 

 e quindi resta dimostrata la (7). 



Le (6), (7) definiscono il numero anga dell' intervallo O m tt indipendentemente da x e 

 quindi ang a è funzione monodroma di a. 



Le (6), (7) non variano nei secondi membri ponendo Ka al posto di a, e quindi è 

 vera la (8). 



Affinchè sia ang a = 0, ovvero ang a = nè necessario e sufficiente che sia sen ang a = 0, 

 cioè, per la (7), Va = 0. 



Osservazione l a . — Dalle formule precedenti e dalla (4) risulta subito che 



(9) a = cos anga -4- (I 3 a — cos anga) H (u, u) -4- sen anga . u f\ 



ove u è vettore unitario avente cent a per direzione (arbitraria solo per a — I 3 a) e che, sup- 

 posto Va =t= 0, ha anche lo stesso verso di Va, cioè u = Va/mod Va. 

 Ma si può anche dare ad a la forma generale seguente 



(10) a = cos cp -4- (I 3 a — cos cp) H (u, u) -4- sen cp . u j\ , 



essendo u vettore unitario che ha cent a per direzione e cp uno qualunque degli infiniti 

 numeri reali che sodisfano alle due condizioni 



(10') coscp = — (I x a — I 3 a) , sencp.i* = Va. 



Ci sarà utile, anche in seguito, chiamare caratteristica angolare del numero reale cp, il 

 numero cp tale che 



< cp < 2tt ■ e cp — cp è un multiplo di 2tt. 



E evidente che cp è una funzione monodroma di cp, e che il numero cp appartiene all'in- 

 tervallo i- 2tt ed è tale che 



cp = 2/jtt -4- cp 



con li intero relativo, pure funzione monodroma di cp. 



Ciò posto, e se cp è la caratteristica angolare del numero cp della (10) sodisfacente 

 alle (10'), si ha cp = ang a sempre quando Va = 0, mentre per Va =1=0 si ha cp = ang a 

 ovvero <p = 2tt — ang a secondo che il verso di u è eguale o contrario al verso di Va. 



Osservazione 2 a . — Per x vettore arbitrario si ha dalla (10) 



ax = cos cp . x -f- (I 3 a — cos cp) u X oc . u -4- sen cp . u /\ x 

 e quindi 



(11) u /\ x X asr ' = sen tp . (m A x ) 2 



la quale prova che : per x noti parallelo ad ti, i vettori u, X, ax sono complanari solamente 

 quando sen cp — 0, cioè Va = ; e per Va H= la successione u, x, ax è destrorsa o sinistrorsa 

 secondo che la caratteristica angolare cp di cp è minore o maggiore di ". 



