MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATDR., SERIE II, VOI,. LXY, N. 14. 7 



Osservazione 3 a . — Dalle (6), (7) risulta subito 



a,a-I 3 a)2^4, (Va)»^l, I^ 2 + 4 (Va)* = 3 

 dalle quali si deducono facilmente le condizioni 



I t a^8, mod Va ^ 1 , I x a« + 4 (Va) 2 = 3 



necessarie affinchè l'omografia a sia una isomeria. 



Osservazione 4 a . — Con le notazioni ora introdotte, e ricordando che a + Ka = 2Da, 

 per l'omografia [} data dalla (2) si ha 



— fj = Da — cos ang a . 



Dalla (9) risulta subito che 



Da — cos ang a = (I 3 a — cos ang a) H (u, u) 



e ciò conferma che 3 applicata ad un qualsiasi vettore non nullo produce un vettore u sodisfa- 

 cente alle condizioni (1). 



Osservazione 5 a . — Tenendo conto della (6) e della (a) del n. 1 si ha 



I 3 (x — a) = (x — I 3 a) (a; 2 — 2 cos ang a . x -\- 1) . 



Il secondo fattore del secondo membro si annulla soltanto per cos ang a = + 1 cioè sol- 

 tanto per senanga = 0, o, il che equivale, per Va = , e in tal caso si ha 



I, (» — a) = (» — I 3 a)(a + 1)2 



e quindi : Se l'isomeria vettoriale a non è una dilatazione (Va 4= 0), essa ha una sola direzione 

 unita, che è cent a, cioè la direzione di Va ; se a è numero (a = I 3 a) ogni direzione è unita ; 

 se a non è numero ma è dilatazione (a=t=T 3 a e Va = 0) allora le direzioni unite sono cent a e 

 tutte le direzioni normali a cent a e se il vettore v ha direzione normale a cent a allora 

 si ha sempre av = — 1 3 a . v . 



Osservazione 6*. — L'isomeria vettoriale generica 



a = cos q> -+- (I 3 a — cos cp) H (u, u) + sen cp . u f\ 



è funzione del numero reale cp e del vettore unitario u, quindi per il differenziale di a 



si ha 



da = 4^- dq> 4- -I 5 - du . 

 òqp ' d« 



Ora se osserviamo che 



u /\ a = a . u /\ = cos cp . u /\ + sen p . { H (u, u) — 1 j , 

 -^- = — sen cp -j- sen cp . H (u, ti) + cos cp . u /\ , 



si ha, per m intero positivo arbitrario, 



