C. BURALI-FORTI — ISOMERIE VETTORIALI E MOTI GEOMETRICI 



Per il secondo termine di da si ha 

 (b) -t^- du = 2 (I 3 a — cos cp) DH {u, du) -j- sen qp . (du) /\ . 



Si può notare che -5 — , -r— du e da non sono isomerie vettoriali. 

 r ò<p ' òu 



Le (a), (b) possono esser utili nello studio dei moti meccanici continui nei quali qp ed il 



sono funzioni del tempo. 



IT. — Identità, Equinversione, Simmetria, Specchiamento, 

 Rotazione, Antirotazione. 



In tutto questo § valgono le seguenti ipotesi : 



a è isomeria vettoriale; 



u è vettore unitario che, per a = l 3 a è arbitrario, mentre per a 4= I 3 a ha cent a per 

 direzione ; 



qp è uno qualunque dei numeri reali sodisfacenti alle (10') e quindi a può assumere 

 la forma (10) mediante (p ed u; 



qp è la caratteristica angolare (cfr. n. 3, Oss. l a ) di cp; 



è un punto: 



X è l'operatore tra punti e punti (trasformazione di punti in punti) tale che, qua- 

 lunque sia il punto P si abbia 



(12) XP=0 4-a(P — 0). 



4. L'isomeria a sia una dilatazione, Va = 0. 



In tale ipotesi ang a = 0, ovvero ang a = Ti e dalla (9) si hanno i casi seguenti : 



a) I 3 a = le ang et = 0, allora a = l 



b) I 3 a = — 1 „ ang a = ir, „ a = — 1 



e) I 3 a = 1 „ ang a = ti, „ a = 2H (u, u) — 1 

 d) I 3 a = — 1 ,, ang a = 0, „ a = 1 — 2H (u, ti), 



e sono i soli casi che si hanno per Va = 0. 



Nel caso a) si ha XP = P, cioè X è, tra le trasformazioni puntuali, l'identità, e si ha 

 pure che l'isomeria a è I'identità vettoriale. 



Nel caso b) si ha 



\P=0 — {P—0) = 20-P, 



cioè XP è la simmetria, equinversione, rispetto al punto O, e noi diremo che la a (indipen- 

 dente da O) è T EQUINVERSIONE VETTORIALE. 



Nel caso e) si ha 



XP = O + 2 H (u, u) (P — O) — (P — O) = 2 j O + u X (P — O) . u | — P; 



ma O 4- M X (P — O) . u è la proiezione ortogonale di P sulla retta Oli, e quindi XP è il sim- 

 metrico di P rispetto alla retta Oa. Cioè X è la simmetria {ortogonale) rispetto alla retta Oli, e noi 

 diremo che a (indipendente da O) è la simmetria {ortogonale) a 7 ettoriale rispetto al vettore u. 





