MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE,' MATEM. E NATUK., SERIE II, VOI,. LXV, N. 14. 9 



Nel caso d) si ha 



\P= + (P — 0) - 2H (u, u) (P — 0) = P — 2 u X {P— 0).u; 



ma P — u X (P — 0) . u è la proiezione ortogonale di P sul piano 0\u (piano condotto per 

 normalmente ad u) e quindi XP è il simmetrico di P rispetto al piano 0\u. Cioè X è lo spec- 

 chiamento (o simmetria ortogonale) rispetto al piano 0\u, e noi diremo che a (indipendente 

 da 0) è lo specchiamelo vettoriale rispetto al bivettore \u. 

 Noi indicheremo, brevemente, con le notazioni 



sym u , spec | u 



l'isomeria a, rispettivamente, nei casi e), d), cioè porremo 



(13) sym u = 2H (u, u) — 1 



(14) spec 1 1* = 1 — 2H (n, u) , 



o, più generalmente, per u vettore non nullo, unitario o pur no, 



2 

 (13') sym u = — H (u, n) — 1 



(14') spec u = 1 g-H (u,u) 



intendendo che se u è bivettore non nullo sia 



(15) spec m = spec[(jw) . 



Con le notazioni ora introdotte le isomerie vettoriali che sono dilatazioni, restano clas- 

 sificate così: 



( ang a = , a = 1 identità 



) ( ang a = ti , a = sym u simmetria 



Va=0 



( ang a = , a = spec u specchiamene 

 [ 3 a = -l 



f ang a = tt , a = — 1 equinver sione. 



Esamineremo in seguito, e del tutto in generale, i prodotti funzionali delle isomerie. 

 Per ora ci limitiamo ad osservare che: 



Per le simmetrie e specchio-menti vettoriali valgono le proprietà seguenti: 



(16) symM = — spec|««, spec|t« = — symw 



(17) sym u . spec u = spec | xi . sym u = — 1 



(18) (sym ti) 2 = (spec | uf = 1 , 



vale a dire: 



ciascuna delle isomerie sym il, spec|i* è il prodotto dell'altra per V equinver sione; 



il prodotto delle isomerie sym u, spec|it e commutabile e vale V equinver sione; 



il quadrato di una simmetria o specchiamento è l'identità. 

 Dim. — Le (16), (17), (18) sono geometricamente evidenti. Esse possono anche esser 

 dedotte formalmente dalle (13), (14) ricordando che 



H («, 6) . H {ii, v)=aXv .R (u, 6) . 



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