10 C. BURALI-FORTI — ISOMERIE VETTORIALI E MOTI GEOMETRICI 



Notiamo finalmente che: 



Le isomerie vettoriali che sono dilatazioni, sono tutte e sole le isomerie che hanno per 

 quadrato l'identità vettoriale. 



Dim. - - Da Va = segue a = Ka = a -1 e quindi a 2 = 1. Viceversa: da a 2 = 1 segue 

 a = a -1 = Ka e quindi Va = VKa == — Va cioè Va = 0. 



5. Consideriamo ora le isomerie vettoriali ad invariante terzo positivo, I 3 a= 1. 

 Per la posizione relativa dei punti P, XP rispetto al punto e agli elementi u, cp, 

 ovvero <p , di a si hanno le due proprietà seguenti. 



a) I punti P, XP stanno sulla circonferenza t che ha il centro C sulla retta Ou, il 

 piano normale alla retta Ou, e per raggio r la distanza di P dalla retta Ou. 



Invero. Essendo XP — = a(P — 0), dalla (10) si ha subito 



(XP — 0) X « = cos cp . (P - 0) X M + (1 — cos cp) u X{P—0) = u X (P — 0) 



e quindi: i punti P, XP hanno il punto C per proiezione ortogonale sulla retta Ou. Ma è chiaro 

 che i vettori P — 0, XP — = a (P — 0) hanno egual modulo e quindi: i punti P, XP 

 distano entrambi di r dalla retta Ou. Ciò prova che P e XP stanno sulla circonferenza Y- 



b) Se un putito deve andare da P in XP muovendosi in f, non ripassando due volte per 

 uno stesso punto di y, e percorrendo un cammino di lunghezza r<p , allora, una persona con i 

 piedi in e la testa in C e che guardi il punto mobile, vedrà questo muoversi (o rimanere immobile 

 per cp = 0) da sinistra verso destra (o anche in senso inverso per cp = tt), cioè nello stesso 

 senso della freccia arcuata che si disegna nel parallelogrammo rappresentativo del bivettore \u, 

 cioè, appunto, nello stesso senso del bivettore\u. 



Invero. Essendo C — parallelo ad u e I 3 a = 1 si ha a(C — 0) = C — e quindi 



a (P— C) = a ) (P — 0) — (C— 0) ( = a (P — 0) — (C — 0) = (X P - 0) — (C — 0) = XP— C, 



vale a dire 



ang (P— C, XP— C) = anga. 



Ma è noto (n. 3, Oss. l a ) che anga^=cp , ovvero anga = 2ir — cp > e quindi i punti P, XP 

 dividono la circonferenza t in due archi uno dei quali ha la lunghezza rcp - Ora, salvo il 

 caso qp = , o qp = tt, appaiono, dopo ciò, possibili due posizioni distinte di XP in j pur 

 essendo uno degli archi di lunghezza rcp ; ma dalla Osservazione 2 a del n. 3 risulta che la 

 successione u, P — C, XP — C è destrorsa per Tr>(p o >0, e che è sinistrorsa per ep ]> ir, 

 quindi la posizione di XP è unica ed è precisamente quella indicata nell'enunciato b). 



Da a) e b) risulta chiaramente che, secondo il comune linguaggio geometrico-meccanico, 

 il punto XP si può ottenere dando a P una rotazione di cp rad intorno alla retta Ou, il senso 

 della rotazione essendo quello del bivettore \u. Ed è chiaro che non basta parlare di rotazione 

 di cp rali intorno ad una retta, ma è pur* necessario individuare il verso della rotazione, verso 

 che si può individuare dando un verso (quello del vettore u) sullo stesso asse di rotazione. 



Al numero cp dell'intervallo O*" 2tt si può sostituire uno qualunque dei numeri reali 

 (positivi o negativi) aventi cp per caratteristica angolare e dire che X è la rotazione di cp 

 radianti intorno alla retta Ou, il verso della rotazione restando determinato dal verso dèi 

 vettore u, come abbiamo prima osservato. Con questa generalizzazione, implicita nel comune 

 linguaggio, si hanno rotazioni positive (nel senso di \u) o negative (nel senso di — |w) a 

 seconda del segno di cp, e cambiando opportunamente cp si può trasformare una rotazione 

 positiva in negativa e viceversa (cfr. formule (23), (24)). 



