3URALI-F0RTI — ISOMERIE VETTORIALI E MOTI GEOMETRICI 



Inoltre per i particolari valori 0. tt di <p, ; , si ha 



.: Rotor (0. u i = 1 . identità, 



(26) Rotori". hi = syniM . simmetria 



le quali provano che: l'identità è la rotazione di 0™ 4 (o di 2à-ìt") intorno ad un rettore arbi- 

 trario, e che sijmu è la rotazione di n 1 * 3 {in generale di _ — lìn" 4 ) intorno ad u. 

 rtaziont l s . — Se poniamo 



i M = Rotor (^,it), 



si ha subito dalla (19). per u vettore unitario. 



(a) i« = HiK.!i>— u '\; 



e l'operatore i u è la rotazione di un retto intorno ad u. 



Applicando formule ben note, relative ai prodotti delle diadi e omografie assiali si ha 

 subito dalla {a) 



i„ 2 = 2H l ». ili — 1 = sym u 



; 



t s = H(i»,u) — ti 



r = 1 = " identità vettoriale 



come è anche facile vedere a priori. 



Giova notare esplicitamente la caratteristica differenza tra l'operatore generale, nello 

 spazio. i„ e l'ordinario operatore i applicabile soltanto ai vettori normali ad w, e che si 

 suole, troppo spesso, indicare con I — 1 (*). 



'•razione 2 S . — Da quanto si è precedentemente esposto e da quanto risulta dalla 

 --ervazione 5* del n. 3 si ha: 



Le isomerie rettoriali a che non sono dilatazioni hanno una sola direzione unita che è 

 cento: ?t" a e numero ogni direzione è per essa unita; se a è simmetria o specchiamento allora 

 e tutte le direzioni normali a ■•- sono unite per a. 



6. È interessante, almeno per la parte formale, far vedere come ogni Rotor può essere 

 espresso mediante un esponenziale in base 



- ? è numero reale ■ il - rettore unitario si ha 



Rotor (q>, hì = e'P«A. 

 Dim. — Ricordiamo che essendo O una qualsiasi sostituzione lineare, si definisce e° ponendo 



(«) *= 1 -f- <r -S- £ -j- -£ + . . . 



e la serie del secondo membro è convergente, indipendentemente dall'ordine dei termini, 

 quando o~ è finita. 



. notazione \ — 1. al posto della completa in. ovrero della inrompìeta i, è inammissibile, perchè iu, 

 ::■ i. dipende da u, cioè varia con u. mentre 1 — le ente (algebrico) assoluto, cioè indipendente da u. 



