MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, JIATEM. E NATUR., SERIE II, VOI,. LXV, N. 14. 13 



Se ora poniamo 



o" = cpw/\ 



si ha per formule ben note 



e? = cp 2 J E{u,u) — 1 ( , a 3 = — cp 3 u A 



a* — — cp 1 j R(u,u) — 1 {, o 5 = cp 5 u A , ■•• 



ecc., con legge facilmente visibile. 

 Allora dalla («) si ha 



e <p»/\ == l + cp»A + |flH(t* ) «)-l(-| r «A-fr)H(«,'«)-l| + |rM + - 



i-& + ir---"-irH--l + l*-"^+'*--.-..ÌH(«,«) + 



= cos cp -j- (1 — cos <p) H (w, tt) -j- sen tp .u f\, 



che per la (19) dimostra la (27). 



Osservazioni. — Se «ei campo dei vettori oc normali ad 11, e solamente in tale campo, 

 si indica, come d'uso, con i l'operatore tale che 



ix = u f\x, 

 allora e?"*A dà l'operatore e>f> nel campo dei vettori normali ad ti, e la formula (27) dà 



è'P = cos cp -j- i sen cp , 



analoga alla formula di Eulero per la V — 1. 



La notazione i è incompleta. Da Hamilton è stata indicata con I~'u; ma per questa 

 notazione, completa e perfettamente regolare, occorre far uso dei quaternioni che. come è 

 noto, sono impotenti a dare le omografie vettoriali generali. 



La notazione e r P" è assai semplice, ma, per la composizione delle rotazioni è opportuna 

 solo quando si considerano rotazioni intorno ad un solo vettore li. In tal caso si ha evi- 

 dentemente (cfr. n. 8 (38), (41)): 



e yju[\ _ e <p«A — e (c/H-y)«A t (eV"^)" = e"9>«A 



e si conservano le leggi formali degli esponenziali, mentre per eV»A , e <P u /\ si ha una legge 

 molto più complicata (cfr. n. 11, (49)). 



7. La dipendenza delle isomerie vettoriali ad invariante terzo negativo da quelle ad inva- 

 riante terzo positivo, cioè dai Rotor, si stabilisce facilmente mediante il teorema seguente. 



Se a è isomeria vettoriale e u è vettore avente cent a per direzione (arbitrario per a = I 3 a), 

 allora, posto 



= spec | w . a , 



l'isomeria P ha a comune con a il centro, l'angolo e il vettore, ma ha invariante terzo di segno 

 contrario di quello di a, cioè 



(a) centp = centa, angf3 = anga, VP = Va, I 3 (3 = — I 3 a; 



