1 | C. BUUALI-FORTI — ISOMERIE VETTORIALI E MOTI GEOMETRICI 



inoltre si ha 



(b) (3 = a . spec | u 



cioè il prodotto delle due isomerie a, spec | u, aventi il centro a comune, è commutabile (*). 

 Dim. — Dalle (14), (10), e per u unitario, si ha 



3 = ! 1 — 2H(w,«*)(a = a — 2H(Kau,u) = a — 2H(I 3 a.w,«t) 

 = a — 2I 3 a . ìi(u, u) = coscp + ( — I 3 a — coscp)H(ie,?e) -f sencp . u A 



che per la (10) dimostra la (a). Osservando che 



a . H (u, u) = H(w,aw) = H (u, I 3 a . u) = I s a . H (u, u) 



resta dimostrata anche la (è). 



Se ora, per analogia con la notazione Rotor(cp,w), poniamo, per u unitario, 



28) aRotor (cp,?f) = coscp — (1 -|- coscp)H(«,w) -j- sencp .u/\, 



e, più in generale, per u non nullo, unitario o pur no, 



(28') aRotor (q>, u) = cos cp - (1 + cos <p) H (— £- , -£-) -f sen q> . -£- A , 



\niod«<. ' modi*/ ' ' mod?« 



il simbolo aRotor leggendosi anti-Rotor, risulta che qualunque isomeria vettoriale ad inva- 

 riante terzo negativo può esser posta sotto la forma (28) e denominata, in modo generico, 

 antirotazione. 



Dal precedente teorema e dalla (28), o (28'), risulta subito che 



(29) aRotor(cp,«) = spec|t« . Rotor(cp,it) = Rotor(<p,«) . spec|w, 



cioè che: ogni antirotazione è il prodotto, commutabile, di una rotazione per uno sjwcchia mento, 

 le due isomerie avendo il centro a comune. 

 Si ha pure 



(30) a = aRotor (anga, Va) [con I 3 a = — 1 e Va =)= 0], 



e, in generale, facendo uso della notazione asse a introdotta alla fine del n. 5, 

 (30'j a = aRotor (anga, asse a) [con I 3 a = — 1] 



(*) Più in generale si ha: 



Se a, (3 sono isomerie vettoriali aventi a comune il centro allora a (3 = (3 a e cent (a B) = cent a, cioè a, (3 sono 

 commutabili e il loro prodotto ha per centro il centro comune di a e di B. 



Dim. — Se il vettore unitario u ha per direzione eenta allora dalla (10) si ha 



a = « + JH(tt,u) + c« Ai p = a' + &'H(«,w) -\-c'u A 



e quindi, dopo facili riduzioni, 



oB = (aa' — ce') + (ab' + a'b + W + ce') lì («, u) -\- (ac' + a' e) u A 



dalla quale risulta il teorema. 



