16 C. BURALI-FORTI — ISOMERIE VETTORIALI E MOTI GEOMETRICI 



III. — Prodotti funzionali delle isomerie vettoriali. 



8. Il caso più semplice per il prodotto di due o più isomerie si presenta quando queste 

 hanno a comune il centro. 



Se cp, ip sono numeri reali, n e un intero relativo ed u è un vettore noti nullo, si ha: 



(38) Rotor (y,u) . Rotor (cp,w) = Rotor (cp + IM*), 



(39) aRotor (ip, ti) . aRotor (cp, u) = Rotor (cp -f- ip,w), 



(40) Rotor (ip, u) . aRotor (9, m) = 



aRotor (ip, u) . Rotor (cp, u) = aRotor (cp -4- ip, u) , 



(41) J Rotor (cp, u) j" = Rotor (n<p,u), 



(42) } aRotor (cp,*t)( 2n = Rotor (2wcp, u), 



J aRotor (cp,w) ( 2n+1 = aRotor [(2 n + l)cp,w], (*) 



e per i casi particolari relativi a sym e spec si vedano le formule (17), (18). 

 Dim. (38). — Dalla (19), e per u unitario, si ha: 



Rotor(ip,w) = cosip -\- (1 — cosip)H(w, u) -4- senip . u f\ 

 Rotor(<p,?t) = cos<p + (1 — cos cp)H(u, u) + sencp . u/\ 



e moltiplicando 



Rotor (ip.it) . Rotor (<p,w.) = cosipcoscp -{- (1 — cosip) (1 — coscp)H(«t,?f) -\- 

 senipsencp ) H(w,««) — 1 J -f- J cosip(l — coscp) -f- coscp(l — cosip) (H(m,m) + 

 (cosip sencp -4- cos qp sen ip) u /\ = 

 cos (cp + ip) + J 1 — cos(cp + ip) j H (u,u) + sen (cp -4- ip) u f\ , 



che per la (19) dimostra la (38). 



Più rapidamente si può operare così. Siccome i due Rotor considerati non alterano i 

 vettori paralleli ad u, basta provare che la (38) è vera quando la si applichi ad un qual- 

 siasi vettore normale ad u. Ora, applicando Rotor (<p,u) ad un vettore normale ad u si 

 ottiene pure un vettore normale ad u, e quindi, nel campo dei vettori normali ad u, i due 

 Rotor si riducono a 



cosvp -j- senip . u A , cos op -f- sen cp . u A 



il cui prodotto, a meno di H(u,u) che sparisce applicato ad un vettore normale ad u, è 



appunto 



cosipcoscp — sencp sen ip -f- (coscp sencp -\- senipcoscp)?» A. 





(*) È ovvio che: il prodotto di due Rotor o di due aRotor è un Rotor, mentre il prodotto di un Rotor per 

 uh aRotor, o viceversa, è un aRotor, poiché 



I 3 (ag) = ì 3 a . I 3 P 

 e a e un Rotor o un aRotor secondo che I 3 a = 1 o I 3 a = — 1. 



