MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUli., SERIE II, VOL. LXV, N. 14. 17 



Dim. (39). — Dalla (37) si ha 



aRotor (ijj, ti) . aRotor (cp, u) = Rotor (tt -\- i|i,'«e) . Rotor (tt -f" °Pi u )> 



che per la (38) e la (23) dà appunto la (39). 

 Si può anche operare mediante la (29): 



aRotor (i|i,if.) . aRotor (q>,it) = Rotor {h>,u) . spec | «e . spec|«t . Rotor (<p,u), 



e poiché il prodotto delle isomerie è associativo e il quadrato di spec|»t è l'identità risulta 

 ancora la (39). 



Dim. (40). — Come la precedente. 



Dim. (41). — La formula è vera per n = (cfr. (25)). 



E pure vera per w= — 1 perchè dalla (38) e (25) si ha 



Rotor ( — <p,u) . Rotor (q>,w) = Rotor(0,w) = 1. 



Supposto che la (41) sia vera per n essa risulta pure vera per n + 1 e n — 1, perchè 



) Rotor(cp,i#) (" +1 = Rotor(«cp,M) . Rotor (<p,u) = Rotor ((n + l)cp,u), 

 J Rotor(cp, w) j" _1 = Rotor (wcp,tt) . Rotor(— cp,u) = Rotor ((« — 1)<P,m) . 



Dunque, per induzione, la (41) è vera per qualsiasi intero relativo n (*). 

 Dim. (42). — Ricordando che 



aRotor (cp, u) = spec j u . Rotor (cp, u) 



si ha, a causa della commutabilità dei due fattori del secondo membro e della commutabi- 

 lità di potenze qualsiasi dei due fattori, 



J aRotor (q>,w) j m = (spec;**)™ . J Rotor (cp,M) j m ; 



ma la potenza m-esima di spec|w vale l'identità ovvero spec | te secondo che l'intero rela- 

 tivo in è pari o dispari, e quindi restano dimostrate le due formule (42). 



9. Se gli assi delle due isomerie delle quali si vuole il prodotto non sono paralleli, 

 allora i casi più semplici si hanno quando le due isomerie sono simmetrie o svecchiamenti. 

 Tratteremo appunto tali casi. 



Se ti, v sono vettori non paralleli (u /\v=t= 0) si hanno le formule seguenti : 



(43) sym v . sym u = Rotor j 2 ang {u, v) , u f\v \ 

 spec | v . spec \u = Rotor ) 2ang(t*,v), u /\ v j 



(44) spec|w . sym u = sym v . spec|tt = aRotor ) tt -\- 2 ang(tt,v), u f\ v j. 



(*) Essendo a una qualsiasi sostituzione lineare, ed m, «interi relativi, con »=t=0, si può definire ci'"'" come 

 la sostituzione P tale che (5" = a'" , e allora la (41) risulta vera anche per n razionale relativo. 



Infine essendo u una classe di razionali aventi un limite superiore finito (l'tt è un numero reale) e defi- 

 nito l'a" = a 1 '", allora la (41) risulta vera anche per n numero reale. 



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