18 C. BURALI-FORTI — ISOMERIE VETTORIALI E MOTI GEOMETRICI 



La (43) esprìme che: il prodotto della symw per la symt» è la rotazione di angolo doppio 

 di quello formato da u e v intorno ad un vettore normale ad u e v. Analogamente per la 

 seconda e per le (44). 



Dim. (43). - - Dalle (16) risulta che le due formule (43) sono l'una conseguenza dell'altra. 



Dimostriamo, ad es., la seconda. 



Supposto u, v unitari si ponga 



(a) <p — ang (u,v) , a — — ^— ; 



x ' ° ' ' sento 



il vettore a risulta unitario e perpendicolare ad u e v. 



Essendo un punto, la sfei'a di centro e raggio unitario è tagliata dai piani 0\u, 0\v 

 in due cerchi massimi, aventi a comune il punto + a. Essendo P*un punto qualunque 

 della sfera si indichi con P x il simmetrico di P rispetto al piano 0\u e con P 2 il simme- 

 trico di P x rispetto al piano 0\v; si ha evidentemente 



P x _ = (spec | u) (P— 0) , P 2 — = (spec j v) (P — 0) 



e in conseguenza 



P 2 — = (spec|w . spec|w) (P — 0). 



Ma P 2 appartiene, come P, alla sfera, le distanze sferiche di -\- a da P e da P s sono 

 eguali e inoltre formano angolo 2 cp ; dunque, tenuto conto del verso, si ha 



p 2 — 0=) Rotor (2<p, a) ( (P— 0) 



che confrontata con la precedente, tenuto conto delle (a), e per l'arbitrarietà di P — 0, 

 dimostra la seconda delle (43) (*). 



Diamo ora una dimostrazione analitica diretta, e per facilitare il calcolo, già abbastanza 

 complesso, scegliamo la prima delle (43). 



Stando le posizioni (a) si ponga ancora 



{a') 1) = a f\U; 



(*) La dimostrazione, puramente geometrica, ora data, e semplicissima. L'analoga per la piuma delle (43) 

 è meno semplice ed è quindi interessante esporla. 

 Si ponga 



A = + a, U=0 + u, V=0+V; 



i punti A, U, V stanno sulla sfera già considerata ed U, V sono situati nel cerchio massimo avente A per 

 uno dei suoi poli. Essendo P un punto arbitrario della sfera sia P t il simmetrico, nella sfera, di P rispetto 

 ad U, e P 2 il simmetrico di P t rispetto a V. È chiaro che 



P,— = (symw . sym u) (P — 0). 



Ora, i semi cerchi massimi che hanno A per un estremo, e passano per P, P, , P a , formano due fusi 

 sferici che hanno per semi cerchi bisettori quelli di estremo A e passanti per U, V; quindi l'ampiezza della 

 somma dei due fusi è 2<p e poiché è facile vedere che P e Pn stanno in una circonferenza avente A per 

 polo, risulta che 



P 2 — = ! Rotor (2q>, «) ( (P— 0). 



Si conclude come prima. 





