MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MA'I'EM. E NATUK., SERIE II, VOI,. I,XV, N. 14. 19 



la terna a, te, b è unitaria ortogonale destrorsa, e poiché, per le (a), 



b = -X- (te f\v) /\u = -1-w _- S°!* tt 



sen q> ' v ' ' v sen cp sen <p 



si ha 



(b) v = coso? te -4- senqp &. 



Ora, come è ben noto, si ha 



(e) sym-w . sym u = j 2H (y, y) — 1 j ) 2 H (te, w) — 1 ( 



= 4 cos cp H (te, v) — 2 H (te, te) — 2 H (y , i>) -f 1 ; 



ma dalla (è) si ha 



H (m, w) = cos cp H (te, te) -4- sen cp H (v, v) 



H (v, v) = cos*<p H («, te) + sen 2 c? H (&, &) + ^^- H (te, 6) + ^^ H (&, te) 



e quindi dalla (e), dopo facili riduzioni, 



sym v . sym te = — 2 sen 2 qp j H (te, te) -f H (b, b) j -4- sen2 cp ) H (te, b) — H (&, te) j + 1 ; 



ma si ha 



H (a, a) + H (te, te) + H (&, &) = 1 



H (te, 6) — H (6, te) = 2VH(te, b) — uf\b = a 

 e quindi 



sym-y . sym te = ■— 2sen 2 q> J 1 — H(ee, a) j + sen 2 cp . a A + 1 

 = cos 2 <p + (1 — cos2cp)H(ee, a) -f- sen2cp . a A 

 = Rotor (2 cp, a). 



Dira. (44). — Dalle (16), (37), (43) risulta subito la (44). 



IO. Le formule che danno i prodotti di due, o più, isomerie a centri distinti, si otten- 

 gono, come vedremo, dal teorema fondamentale seguente. 

 Se a, b, e sono vettori non complanari, e si pone 



(45') a = ang (ab, ad), (3 = ang (bc, ba), f = ang (ca, cb) (*), 



allora si ha 



(45) 



\ Rotor( 2t ,c). Rotor ( 20 ,6). Rotor ( 2a ,a) = l, peraXb/\c<0 

 ( Rotor (— 2t,c) . Rotor (— 2p,&) . Rotor (— 2a,a) = l, per ee X & A e > 0. 



Dim. — Senza toglier nulla alla generalità possiamo supporre che a, b, e siano unitari. 

 Se è un punto arbitrario, i punti 



A=.0 + a, JB=0 + 6, C=0 + c 



formano un triangolo sferico, sulla sfera di centro e raggio unitario, i cui angoli in A, B, C 

 sono, rispettivamente, di a, fi, T radianti. 



(*) Cioè a, ad es., e l'angolo formato dai due bivettori ab, ac, o, il che equivale, l'angolo formato dai 

 vettori a f\b, a /\c. 



