20 C. BURAU-FORTI — ISOMERIE VETTORIALI E MOTI GEOMETRICI 



Essendo P un punto arbitrario della sfera, sia M il suo simmetrico, sulla sfera, rispetto 

 al lato AC, e siano P lt P 2 i simmetrici, sulla sfera, di M rispetto ai lati AB, BC. 



È geometricamente evidente che: se P ruota, sulla sfera, di 2a raJ intorno ad A, va 

 in P x ; se P x ruota di 28 radianti intorno a B va in P 2 ; se P 2 ruota di 2y radianti intorno 

 a C va in P; le rotazioni facendosi in senso conveniente. E poiché tali proprietà sono indi- 

 pendenti dalla posizione di P, è facile vedere, scelto P in modo che M risulti interno al 

 triangolo sferico ABC, che il verso delle rotazioni è tale che sussistono le (45) (*). 



Ma per togliere ogni dubbio riguardo al senso delle rotazioni si possono ottenere diret- 

 tamente le (45) dalla seconda delle (43). 



Abbiamo già osservato che, ad es., a è l'angolo dei due vettori a A b, a A C; ora si ha 



{a A e) A (a A b) = — e X <* A b . a = — « X & A e .a 

 e quindi, ad es., dalla seconda delle (43) 



specaft . spec ac = Rotor ) 2a, (a A e) A {a A b) J (**). 

 = Rotor J 2a, — a X b A e . a \ . 



Se dunque supponiamo a X b A e < si ha 



Rotor (2a, a) = speca& . spec «e 

 Rotor (26, &) = spec&c . spec6« 

 Rotor (2t , e) = spec ca . spec cb ; 



moltiplicando, e osservando che, ad es., 



spec ab = spec ba , 



che il prodotto funzionale è associativo e che il quadrato di uno specchiamento è l'identità, 

 si ha la prima delle (45). Supposto invece a X b /\ c>0 si ha la seconda. 



Osservazione. — Il teorema precedente può esser generalizzato così. 



Sia n un intero positivo non minore di 3; sia a x , di, ... a n una successione di vettori 

 non nulli; si ponga ancora 



(io = a n , f*/i+i — z o>i ; 



per r intero arbitrario dell'intervallo l"n si abbia 



« r _! X a, A «r+i < ; 



avendo r lo stesso significato precedente si ponga 



a,. = ang (a,. a,._ x , a r a,. +1 ). 



(*) Le (45) dicono in sostanza che: sulla mezza sfera che contiene il triangolo ABC il verso delle tre 

 rotazioni considerate è contrario al verso stabilito sulla mezza sfera dalla successione A, B, C. 

 (**) Per questo passaggio si ricordi che, ad es., 



| («6) => a f\b 



e che quindi spec ab = spec || («6) = spec | (a A &)• 



L'uso promiscuo dell'algoritmo elementare dei simboli X> A> con quello dell'operatore indice, |, e del 

 prodotto alternato è da raccomandarsi vivamente per le semplificazioni formali alle quali conduce [Cfr. C. Bu- 

 iuli-Forti, Sopra alcune superfici rigate..., " Rend. della R. Acc. dei Lincei „, voi. XXIII, s. 5", pp. 201-208, (1914)]. 



