MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATUU., SEME II, VOL. l.XV, N. 14. 21 



In tali ipotesi si ha sempre 



Rotor (2a„ , a n ) . Rotor (2a n _! , a n -ì) ■ ■•• Rotor (2o! , a t ) = 1. 



Le due dimostrazioni precedenti possono ripetersi tal quale per la successione a,. ; come 

 pure nella formula generale si deve cambiare a r in — a,, quando sia a r _ x X <*r A «>-+i > 0. 



11. Per il prodotto di due Rotor ad assi non paralleli, diversi entrambi dall'identità, 

 si ha il teorema seguente. 



Se ti, v sono vettori unitari non paralleli, 2<p, 2ip sono numeri dell'intervallo 0~2tt (cioè, 

 positivi, non nulli e minori di 2tt) (*), allora si ha 



(46) Rotor (2i|/, v) . Rotor (2cp, u) — Rotor (— 26, w), 



e l'angolo di 9 rad e il vettore non nullo w (a meno del modulo, cioè per direzione e senso) si 

 costruiscono così. Sulla sfera di centro arbitrario e raggio unitario si costruisca il triangolo 

 sferico di cui due vertici sono i punti U — -\- u, V = -\-v ed il terzo vertice W è tale 

 che gli angoli in U, V sono, rispettivamente, di cp, ^radianti e la successione ti,v, W — è 

 sinistrorsa, cioè u A v X ( ^ — 0) < 0. Allora 9 è la misura, in radianti, dell'angolo in W 

 e il vettore w ha a comune con W — la direzione e il verso. 



Inoltre, sotto forma analitica: 9 è la minima soluzione positiva della equazione 



(47) cos9 = — coscp cosi(j -f- sencp semy . u X v > 

 e per w si ha, a meno del modulo, 



(48) w = cotijJ . u + cotep . v — u A v. 



Dim. — Tenuto conto della costruzione indicata di 9 e tv si ha dalla (45), 

 Rotor (29, tv). . Rotor (2ip, v) . Rotor (2cp, u) = 1 



ed operando, a sinistra, con Rotor ( — 2 9, tv) si ha la (46). 

 Essendo u, v unitari si ha che 



u X v — cos (ti, v) 



e quindi la (47) è niente altro che la nota relazione fra un lato e i due angoli adiacenti di 

 un triangolo sferico (**). 



(*) Questa ipotesi, apparentemente restrittiva, toglie nulla alla generalità, poiché 2<p, 2i|J sono, in sostanza, 

 le caratteristiche angolari di due numeri, cp', 4)' che danno, in generale, la parte angolare delle due rotazioni. 



(**) Questa relazione e il teorema dei seni dell'ordinaria trigonometria sferica risultano subito da identità 

 vettoriali. 



Siano, a, b, e vettori non complanari ed unitari, ordinati in modo che 



(1) «X&aoo. 



Se è un punto, i punti 0-\-a, + 6, 0-\-c sono vertici di un triangolo sferico. Se di questo a,b,c 

 sono le misure dei lati e a, (3, f le misure in radianti degli angoli, si ha 



(2) o = ang (6, e) , b = ang (e, a), c = ang («, 6) 



(3) a = ang(a A 6, « A e), P = ang(6 A e, 6 A «), T = aag(c A«, «AW 



