22 C. BUKALI-FOIiTI — ISOMERIE VETTORIALI E MOTI GEOMETRICI 



Resta da dimostrare la (48). 



Siccome u, v, u A v non sono complanari e tv non può esser complanare con u e v, 

 si può porre, a meno del modulo, 



(a) tv = xu -j- yv — u A v , 



ove i numeri x, y devono sodisfare alle condizioni seguenti 



\ cp = ang (uv, uw) = ang (u A v , u A tv) 

 I m = ang (vu, vw) = ang (v f\ u, v A tv) 

 (e) tv X u A *> < 0. 



Se ora poniamo a = ang (ti, v) si ha 



n X ^ = cosa , mod (?t A») = sena ; 



allora dalla (a) si ha ad es., 



v A «' = ajw A u — ti -\- cosa v , 



mod (w A tv) = |/i» 2 sen 2 a -(- 1 -\- cos 2 a — 2cos 2 a = \l\ -4- x 2 sena, 



(v A «*) X (v A w) = a; (w A ti) 2 = xsen 2 a, 



e per la seconda delle (b) 



sena . y 1 -4- x 2 sena . cosip" = #sen 2 a ; 

 ripetendo per u /\tv si ha 

 (d) x = Vi -f- x 2 cosv, y = ]/l -j-y 2 cosqp. 



e in conseguenza 



(4) 6Xc = cosa, cX<» = cos6, aX& = cosc 



(5) mod (6 A e) = sena, mod (e A a ) — seni , mod (« A 6) = sen e. 



Da queste e dalla identità 



(6) (a A 6) X (« A e) = & X e - a X e . a X » 

 si trae subito 



(7) sen b sen e cos a = oos a — oos b cos e 



che è la formula polare di quella usata nel testo. 

 Analogamente dalla identità 



(8) (« A &) A (« A e) = « X & A e ■ « 

 prendendo i moduli e poi rotando 



(9) a X ^ A c = sen 6 sene sena = sene sen a senP = sena seni sen Y 



da cui 



,.„. sena sen g seny ,, ... 



(10) = — = (teorema dei seni). 



sena seno sene 



L'identità (8) per vettori non complanari a, b, e arbitrari dimostra pure ebe : il volume Ai un parallele- 

 pipedo vale il prodotto di due facce consecutive per il seno dell'angolo compreso, diviso tutto per la lunghezza 

 dello spigolo comune alle due facce. Questo teorema si dimostra anche in modo semplicissimo valendosi soltanto 

 della geometria e trigonometria elementare, ed e strano che non lo si adoperi per dimostrare il teorema dei 

 seni, e si ricorra sempre alla antica, pesante e non geometrica dimostrazione usuale. 



