MEMOUIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, JIATEM. E NATUR., SERIE II, VOI,. LXV, N. 14. 23 



Quadrando, riducendo, ed osservando che le (d) dicono che x e y hanno il segno di cosvp 

 e coscp (e quindi anche di cotip e cotqp, perchè qp, ip appartengono all'intervallo 0~tt), si ha 



x = cottp . y = cotqp 



che dimostrano la (48), poiché il valore di w dato dalla (a) sodisfa, evidentemente, alla con- 

 dizione (e) qualunque siano i numeri x, y. 



Osservazione. — Se nella (46) si pongono al posto di 6 e w i valori trovati si ha la 

 formula generale 



(49) Rotor (2ip, v) . Rotor (2qp, u) = 



Rotor j — 2 cos -1 ( — coscp cos vp -f- senqp semp .«X"), cotip . u -|- cot<p .v — u A v }. 



Come controllo dei nostri calcoli si può osservare che questa formula per qp = ip = tt/2 

 dà appunto la prima delle (43). 



La (49) si può ottenere con calcolo diretto dalla (19) operando come si è fatto per la 

 dimostrazione diretta della (43). Tale calcolo è però lungo come il calcolo corrispondente 

 con i quaternioni. 



12. I casi possibili per i prodotti di due isomerie vettoriali sono i seguenti: 

 ( Rotor (vp, v) . Rotor (<p, u) , aRotor (cp, v) . aRotor (qp, u), 



\(t) 



{ Rotor (ip, v) . aRotor (qp, u) . aRotor (ip, v) . Rotor (<p, u). 



Per u, v paralleli si hanno le formule (38), (39), (40) del n. 8. 



Per u, v non paralleli, la (49) ci dà la formula per il primo dei casi (a). Per gli altri 

 casi si ha dalla (37) 



(50) aRotor (mj, v) . aRotor (<p, u) = Rotor (tt -j- ip, v) . Rotor (n -|- qp, u) , 



(51) Rotor (mj, v) . aRotor (qp, u) =' — Rotor (v, v) . Rotor (tt -f- cp, u) , 



(52) aRotor (ip, v) . Rotor (qp, u) = — Rotor (tt -4- MJ, v) . Rotor (qp, u) 



che mediante la (49) e la (37') ci danno le formule generali per i prodotti di due isomerie 

 vettoriali. 



Dai casi ora considerati risulta anche il prodotto di tre o più isomerie, tenendo conto 

 della proprietà associativa e applicando, successivamente, le (49)-(52). 



Osservazione l a . — Se, ad es., per la (50) si fa uso della (29), allora si ha, tenuto anche 

 conto della solita proprietà associativa e della seconda delle (43), 



aRotor (ip, v) . aRotor (qp, u) = 

 Rotor (ip, v) . spec | v . spec | u . Rotor (qp, ti) = 

 Rotor (ip, v) . Rotor j 2ang (u, v), u /\ v \ . Rotor (cp, u) , 



che dà il prodotto di due aRotor mediante il prodotto di tre Rotor, mentre la (50) dà tale 

 prodotto mediante due soli Rotor. 



Analoga, ed inutile, complicazione si presenta per le (51), (52) facendo uso della (29) 

 in luogo della (37). 



Osservazione 2 a . — Abbiamo già fatto notare che il prodotto di due isomerie vettoriali 

 aventi egual centro è sempre commutativo. Dalle formule (49)-(52) si può dedurre facilmente 

 in quali casi il prodotto di due isomerie è commutabile. 



