24 C. BORALI- FORTI — ISOMERIE VETTORIALI E MOTI GEOMETRICI 



Posto a = Rotor (2<p, u), p = Rotor (2ip, v) si ha dalla (49), 



Pa = Rotor (— 26, w), a0 = Rotor (— 26j , v\), 



ove, evidentemente, 



( tv = cotip . u -4- cottp . v ■ — u A v 

 6 = 6! e 



( w t = cotep . v -f- cottp . t* — V A M- 



Affinchè si abbia (5 a = a[$ è intanto necessario che i vettori wj, «' x siano 'paralleli. Ora i 

 vettori u f\v, cotip . w -)- cot<P . v sono o «wZZi o ortogonali e quindi affinchè sia tv A Wj = 

 è necessario si abbia 



?t /\ v = , ovvero cotip . u -\- cotop ..v = 0. 



Nel primo caso a, (3 sono coassiali ed è già noto che sono commutabili. 



Nel secondo caso, e naturalmente per u A v =1= 0, deve essere cotep = cotip = 

 cioè 2(p = 2ip = 7T, cioè a e (3 devono essere simmetrie. Ma per 2qp = 2ip = tt la (47), 

 dà 6 = ang (u, v); inoltre w e w % hanno verso contrario e quindi perchè possa essere (Jet = af5 

 tanto fte quanto ctf3 devono pure esser simmetrie, cioè deve essere 26 = tt ; vale a dire 

 deve essere u X v — 0. 



Da questo e dalle (50), (51), (52) si ha: 



Il prodotto dì due isomerie vettoriali è commutabile solamente quando, o sono coassiche, 

 ovvero sono simmetrie o specchiamenti (entrambe della stessa specie o pur no) ad assi ortogonali ; 

 e in quest'ultimo caso il loro prodotto è una simmetria o specchiamene che ha l'asse normale a 

 ciascuno degli assi dei due fattori. 



IV. — Moti geometrici in generale. 



13. Chiameremo moto geometrico, o anche isomeria ogni sostituzione lineare per le for- 

 mazioni geometriche, F x , di prima specie di Grassmann-Peano, che sodisfa alle due condi- 

 zioni seguenti : 



l a conserva la massa della qualsiasi F 1 cui si applica; 

 2 a applicata ad un vettore qualunque ne conserva il modulo. 

 Sia X un moto geometrico e S una qualsiasi F 1 . 

 La l a condizione esprime che S e \S hanno egual massa, cioè che 



{\S)vj = Sw (*)•; 



e quindi, in particolare: 



Ogni moto geometrico trasforma punti (Sw == 1) in punti e trasforma vettori (Sw —- 0) 



in VETTORI. 



La 2 a condizione esprime che se a è un vettore, allora \a è vettore che ha lo stesso 

 modulo di a, cioè 



mod (ha) = moda, 

 e in conseguenza: 



(*) Indichiamo con uj il sestuplo del bivettore unitario 53. Qualunque sia il punto 0, si ha 



Ou) = 1 e OQ = ^r- 



b 



