26 C. BURALI-FORTI — ISOMERIE VETTORIALI E MOTI GEOMETRICI 



Invero ; per P punto arbitrario si ha da (54) 



XP = B + (P - A) = P + (B — A) 



e, in particolare, per A = B si ha 



\P=P. 



b) X = I , — 1) è la equinversione rispetto al punto medio tra A e B, ( — ^ — 

 anche simmetria rispetto allo stesso punto. 

 Invero, dalla (54) si ha 



\P= B — (P— A) = 2 (^-jr^) - P- 



e,) X = ( , Rotor (cp, u)\ è la rotazione cfo' qp rad intorno alla retta Au . [Cfr. n. 5]. 



d) X = I , symw è la simmetria (assiale) rispetto alla retta Au, e si ha da e) po- 

 nendo cp = n [Cfr. n. 4]. 



e) X = ( , spec|*e) è lo specchiamento rispetto al piano A\u [Cfr. n. 4]. 



\A- 

 Vedremo in seguito che traslazione, simmetria assiale, specchiamento, danno, con i loro 



prodotti, tutti i moti geometrici. 



15. Diremo che la retta r è un asse del moto geometrico X = ( , et), quando r è paral- 

 lelo ad asseot (cioè ha cento: per punto all'infinito) e inoltre qualsiasi punto P di r è tras- 

 formato da X in un punto XP pure appartenente ad r (identico a P, o diverso da P) (*). 



Se la retta r è parallela all'asse di una isomeria vettoriale a, ed esiste un punto P di r 



che è trasformato dal moto geometrico \ = l a) in un punto di r, allora r è un asse di X. 



Dim. — Sia u un vettore parallelo ad assect. Per ipotesi XP è un punto di r, e poiché 

 la retta r è parallela ad u si avrà 



XP=P-f xu 



ove x è numero reale. Se Q è un punto della retta r si avrà 



Q = P-\-yu 

 e in conseguenza 



X@ = XP-|- yau = P-4- xu -f- y\ 3 a . u = P-\- (x -\- yl 3 a) u 



cioè anche \Q è un punto di r, cioè r è un asse di X. 



Osservazione. — Ricordando che per a — I 3 a, asse a è vettore arbitrario, dal teorema 

 precedente si ha subito: 



Dell' identità X = ( , l) qualsiasi retta è un asse. 



(*) Più in generale si può definire così: la retta r è un asse di X quando ogni punto P di r e trasformato 

 da \ in un punto, XP di r. Ma osservando che X trasforma vettori in vettori, risulta subito che la retta r 

 deve esser parallela ad assea e quindi tanto vale adottare subito la definizione del testo. 



