28 C. BDKALI-FORTI — ISOMERIE VETTORIALI E MOTI GEOMETRICI 



si ha per proprietà note 



I 3 a = sen 3 y + (— cos ~ uj X (— sen -| cos -| u) 

 = sen 3 y -f- sen y cos 2 y = sen 2 ' 

 RK : = R (sen ^- -f- cos y u A ) = sen 2 y + sen -f- c° s -f- w A + cos 2 y H (u, u) , 



cf . RK 0" = Lo = sen -=- . 

 3 2 



Allora, siccome la (e) diviene 



2 sen ■£■ . 0- (P— .4) = 5 — A + rat* , 



operando con RKo" nei due membri si ha 



2sen 2 1- (P — A) = sen 2 -|- (P — 4) + sen y cos |- m A (5 — ^) + 

 cos 2 y u X (P — A).u J \-m sen 2 y «e ~(- m cos 2 y 



e quindi, poiché sen -g- =t= per ipotesi, 



P- J=y (P — -4) + -5- cot -I- .u A {B — A)-\-ku, 



cioè 



P= A ^~ + y cot y . u A (P - A) + te 



ove & è numero reale arbitrario. 



Dunque la condizione (a) è verificata soltanto dai punti P della forma 



P= -f te 



il che, per il teorema del n. 15, dimostra appunto che X ammette un solo asse e che questo 

 passa per il punto dato dalla (55) (*). 



b) Se l'isomeria vettoriale a è uno specchiamelo (cioè a=J=I 3 a e anget = 0) allora il 



moto geometrico X = ( , a) , non ammette assi, ne ha infiniti, secondochè il vettore B — A non 



eoe parallelo ad asse a ; in Quest'ultimo caso qualsiasi retta parallela ad asse a è un asse di X 

 e X è uno specchiamento. 



Dim. — Conserviamo le notazioni della Dim. precedente. 



Nelle ipotesi fatte si ha 



1 — a = 2 H (u, u) 



e quindi la condizione (6), equivalente ad (a), diviene 



ti A(B — A) = 



che non contiene P. Dunque: se B — A non è parallela ad u, cioè ad assea, allora non 

 esiste un punto P appartenente ad un asse di X; mentre se B — A è parallelo ad u, allora 

 per qualsiasi punto P passa un asse di X. 



(*) Cfr. con Omografie vettoriali per il punto ottenuto, per via geometrica, meno semplice di quella 

 omografica ora seguita. 



