MEMORIE - CLASSE DI SCIENZE FISICHE, MATEM. E NATOR., SERIE II, VOI-. LXV, N. 14. 31 



e quindi, osservando che av = v, perchè v è parallelo all'asse di a, e I 3 a = 1, 



V |uP=0 + a(P— 0) + v 



M vP=0 + a(P+v — 0) = + a(P — 0)-\-v, 



cioè per la (e) 



\P=vuP=uvP 

 che dimostra la (56). 



Osservazione. — Ogni motor \ dà dunque posizione iniziale e finale di un moto elicoidale 

 o elicomozione, realizzabile sempre mediante una vite materiale, non esclusa quella di passo 

 nullo che può realizzare il motor che si riduce ad una sola rotazione; la traslazione poten- 

 dosi, realizzare con una vite ordinaria cui si dia la rotazione di 2Tt rad . 



19. È notevole, almeno per la parte formale, come un motor si possa sempre esprimere 

 con un esponenziale in base e (Cfr. n. 6) (*). 



Avendo 0, q>, u il precedente significato si consideri la forma geometrica di seconda specie s, ' 

 di Grassmann-Peano, definita da 



(57) s = qp . Ou -\-m\u, con ni = (B — A) X **, 



ed essendo O il simbolo del prodotto alternato di Geassmann-Peano, si consideri l'operatore y 

 definito ponendo 



(58) t = — | ■ wO . s O (**). 



Se, essendo P una F 1 qualsiasi, osserviamo che l'operatore uuO . sO applicato a P pro- 

 duce il bivettore 



(uuO . sO) P= uu {sP} = —Ps.w, 



ove nel secondo e terzo membro abbiamo sottinteso, come di solito, il simbolo O, la (58) dà 



(58') YP=|(Ps.w) 



e quindi: y è operatore tra F^ e vettori. 



Ciò posto, e vedendo le notazioni precedenti, si ha 



(59) X = (J ' Rotor fa M )) = & 



che dà il motor generico \ sotto forma di esponenziale. 



Dim. — Si indichi con Ti ciò che diviene l'operatore f tra JF 1 e vettori, quando il suo 

 campo di applicazione si limita ai vettori (che sono delle -F\). Allora per oc vettore arbi- 

 trario si ha dalla (58') e (57) 



Y 1 as = | {xs . uu) = | (sui . x) = cp | (ux) = <p . u /\ x, 



e poiché x è arbitrario, risulta 



(a) Ti = qp • u A • 



Se nella (58') si pone al posto di P e si tien conto della (57) si ha 



(b) yO = \(Os . tu) = mu, 



(*} G. Peìno, Calcolo geometrico, p. 164 (Bocca, Torino, 1888). 



(**) Ove uj è il sestuplo del trivettore unitario Q, cioè è tale che, qualunque sia il punto A, si ha Aw = 1. 



